Чим відрізняється Кропнута матриця від повної

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25

Матриці та операції над ними. Дії з матрицями

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриці і основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити з матрицями. З чого почати знайомство з матрицями? Звичайно, з самого простого – визначень, основних понять і найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють всі, хто приділить їм хоча б трохи часу!

визначення матриці

матриця – це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою – таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються прописними літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядка і матриці-стовпці, звані векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків і стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n , де m – кількість рядків, а n – кількість стовпців.

Елементи, для яких i \u003d j (a11, a22, .. ) Утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити з матрицями? Складати / віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції додавання і віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати тільки матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – досить тільки скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо додавання двох матриць A і В розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожний її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться не всі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці – A і B. Їх можна помножити один на одного тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. При цьому кожен елемент отриманої матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумі добутків відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад з реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки і стовпці міняються місцями. Наприклад, транспоніруем матрицю A з першого прикладу:

визначник матриці

Визначник, про ж детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди придумали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У підсумку, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що, останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна для вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут вже складніше, але впоратися можна.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі добутків елементів головної діагоналі і творів елементів лежать на трикутниках з межею паралельної головній діагоналі, від якої віднімається твір елементів побічної діагоналі і твір елементів лежать на трикутниках з межею паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів на практиці доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції над матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або ж навпаки – зіткнутися з набагато більш складними випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтеся по допомогу, отримуйте якісне і докладний рішення, насолоджуйтеся успіхами в навчанні і вільним часом.

Це поняття, яке узагальнює всі можливі операції, вироблені з матрицями. Математична матриця – таблиця елементів. Про таку таблиці, де m рядків і n стовпців, кажуть, що це матриця має розмірність m на n.

Загальний вигляд матриці:

для рішення матриць необхідно розуміти, що таке матриця і знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

• Головна діагональ, що складається з елементів а 11, а 22 . ..а mn.
• Побічна діагональ, що складається з елементів а 1n, а 2n-1 . ..а m1.

Основні види матриць:

• Квадратна – така матриця, де число рядків \u003d числу стовпців ( m \u003d n).
• Нульова – де всі елементи матриці \u003d 0.
• Транспонована матриця – матриця В, Яка була отримана з вихідної матриці A шляхом заміни рядків на стовпці.
• Одинична – все елементи головною діагоналі \u003d 1, всі інші \u003d 0.
• Зворотній матриця – матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті одиничну матрицю.

Матриця може бути симетричною відносно головної і побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 \u003d а 21, а 13 \u003d а 31, . .а 23 \u003d а 32 . а m-1n \u003d а mn-1, То матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть бути лише квадратні матриці.

Методи рішення матриць.

Майже все методи вирішення матриці полягають в знаходженні її визначника n-го порядку і більшість з них досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2го і 3го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно з твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведені правила для знаходження визначника 3го порядку.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць, Можна зобразити таким чином:

Іншими словами, твір елементів в першому визначнику, які з’єднані прямими, береться зі знаком “+”; так само, для 2го визначника – відповідні твори беруться зі знаком “-“, тобто за такою схемою:

при рішенні матриць правилом Саррюс, Праворуч від визначника дописують перші 2 колонки і твори відповідних елементів на головній діагоналі і на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком “+”; а твори відповідних елементів побічної діагоналі і діагоналей, які їй паралельні, зі знаком “-“:

Розкладання визначника по рядку або стовпцю при вирішенні матриць.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка визначника на їх алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають ту рядок / стовпець, в якій / ом є нулі. Рядок або стовпець, по якій / ому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду при вирішенні матриць.

при рішенні матриць шляхом приведення визначника до трикутного вигляду, працюють так: за допомогою найпростіших перетворень над рядками або стовпцями, визначник стає трикутного виду і тоді його значення, відповідно до властивостей визначника, буде дорівнює добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа при вирішенні матриць.

Вирішуючи матриці по теоремі Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай Δ – це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які k рядків (чи шпальт), за умови k≤ n – 1. В такому випадку сума творів всіх мінорів k-го порядку, що містяться в обраних k рядках (стовпчиках), на їх алгебраїчні доповнення буде дорівнює визначнику.

Рішення зворотної матриці.

Послідовність дій для розв’язання оберненої матриці:

1. Зрозуміти, квадратна чи дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що оберненої матриці для неї не може бути.
2. Обчислюємо алгебраїчні доповнення.
3. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
4. Складаємо зворотну матрицю з алгебраїчних доповнень: всі елементи приєднаної матриці C ділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканої зворотною матрицею щодо заданої.
5. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову і отриману матриці, результатом повинна стати одинична матриця.

Рішення систем матриць.

для рішення систем матрицьнайбільш часто використовують метод Гаусса.

Метод Гаусса – це стандартний спосіб вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто, за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного виду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером), знаходять кожен елемент системи.

метод Гаусса є самим універсальним і кращим інструментом для знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричних методом.

Метод Гаусса має на увазі також прямий (приведення розширеної матриці до ступінчастого вигляду, тобто отримання нулів під головною діагоналлю) і зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід і є метод Гаусса, зворотний – метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана відрізняється від методу Гаусса лише послідовністю виключення змінних.

рішення матриць – поняття узагальнююче операції над матрицями. Під математичною матрицею розуміється таблиця елементів. Про подібну таблиці, в якій m рядків і n стовпців, кажуть що це матриця розміром m на n.
Загальний вигляд матриці

Основні елементи матриці:
Головна діагональ. Її складають елементи а 11, а 22 . ..а mn
Побічна діагональ.Її складають елементи а 1n, а 2n-1 . ..а m1.
Перед тим як перейти до вирішення матриць розглянемо основні види матриць:
квадратна– в якій число рядків дорівнює числу стовпців (m \u003d n)
Нульова – все елементи цієї матриці дорівнюють 0.
транспонована матриця – матриця В, отримана з вихідної матриці A заміною рядків на стовпці.
одинична– всі елементи головної діагоналі рівні 1, всі інші 0.
зворотна матриця– матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті одиничну матрицю.
Матриця може бути симетричною відносно головної і побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 \u003d а 21, а 13 \u003d а 31, . .а 23 \u003d а 32 . а m-1n \u003d а mn-1. то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними бувають тільки квадратні матриці.
Тепер перейдемо безпосередньо до питання, як вирішувати матриці.

Додавання матриць.

Матриці можна алгебраїчно складати, якщо вони мають однакову розмірністю. Щоб скласти матрицю А з матрицею В, необхідно елемент першого рядка першого стовпчика матриці А скласти з першим елементом першого рядка матриці В, елемент другого шпальти першого рядка матриці А скласти з елементом елемент другого шпальти першого рядка матриці В і т.д.
властивості додавання
А + В \u003d В + А
(А + В) + С \u003d А + (В + С)

множення матриць.

Матриці можна множити, якщо вони узгоджені. Матриці А і В вважаються узгодженими, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Якщо А розмірністю m на n, B розмірністю n на до, то матриця С \u003d А * В буде розмірністю m на до і буде складена з елементів

Де З 11 – сума папарних творів елементів рядка матриці А та стовпця матриці В, тобто елемента сума твори елемента першого стовпця першого рядка матриці А з елементом першого стовпчика першого рядка матриці В, елемента другого шпальти першого рядка матриці А з елементом першого стовпчика другого рядка матриці В і т.д.
При перемножуванні важливий порядок перемноження. А * В не дорівнює В * А.

Знаходження визначника.

Будь-яка квадратна матриця може породити визначник або детермінант. Записує det. або | елементи матриці |
Для матриць розмірністю 2 на 2. Визначити є різниця між твором елементів головної та елементами побічної діагоналі.

Для матриць розмірністю 3 на 3 і більше. Операція знаходження визначника складніше.
Введемо поняття:
мінор елемента – є визначник матриці, отриманої з вихідної матриці, шляхом викреслювання рядка і стовпця вихідної матриці, в якій цей елемент перебував.
алгебраїчним доповненням елемента матриці називається твір мінору цього елемента на -1 в ступеня суми рядка і стовпця вихідної матриці, в якій цей елемент перебував.
Визначник будь квадратної матриці дорівнює сумі твори елементів будь-якого ряду матриці на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

звернення матриці

Звернення матриці – це процес знаходження зворотної матриці, визначення якої ми дали на початку. Позначається зворотна матриця також як вихідна з припискою ступеня -1.
Перебувати зворотна матриця за формулою.
А -1 \u003d A * T x (1 / | A |)
Де A * T – Транспонована матриця алгебраїчних доповнень.

Приклади розв’язання матриць ми зробили у вигляді відеоуроку

:

Якщо хочете розібратися, дивіться обов’язково.

Це основні операції за рішенням матриць. Якщо з’явиться додаткові питання про те, як вирішити матриці, Пишіть сміливо в коментарях.

Якщо все ж ви не змогли розібратися, спробуйте звернутися до фахівця.

Визначення.Матрицею називається безліч чисел, яке становить прямокутну таблицю, що складається ізmстрок іnстолбцов

коротко матрицю позначають так:

де елементи даної матриці, i- номер рядка, j- номер стовпчика.

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців ( m = n), То матриця називається квадратної n-го порядку, а в іншому випадку – прямокутної.

якщо m= 1 і n > 1, то отримуємо однорядковими матрицю

яка називається вектор-рядком , якщо ж m\u003e 1 і n\u003d 1, то отримуємо одностолбцовую матрицю

яка називається вектор-стовпцем .

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональної.

Діагональна матриця, у якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одинично, позначається E.

Матриця, отримана з даної заміною її рядки стовпцем з тим же номером, називається транспонованою до даної. Позначається.

Дві матриці іравни, якщо рівні між собою елементи, які стоять на однакових місцях, тобто якщо

при всіх i і j(При цьому число рядків (стовпців) матриць Aі Bмає бути однаковим).

1 °. Сумою двох матриць A=(a ij) і B=(b ij) З однаковою кількістю m рядків і nстовпців називається матриця C=(c ij), Елементи якої визначаються рівністю

Суму матриць позначають C=A+B.

2 0. твором матриці A=(a ij) На число λ називається матриця, у якої кожен елемент дорівнює добутку відповідного елемента матриці Aна число λ :

λA=λ (a ij)=(λa ij), (i \u003d 1,2 . m; j\u003d 1,2 . n).

3 0. твором матриці A=(a ij), Що має mрядків і kстовпців, на матрицю B=(b ij), Що має k рядків і nстовпців, називається матриця C=(c ij), Що має mрядків і nстовпців, у якій елемент c ij дорівнює сумі добутків елементів i-ої рядки матриці A і j-го стовпця матриці B, тобто

При цьому число стовпців матриці Aмає дорівнювати числу рядків матриці B. В іншому випадку твір не визначено. Твір матриць позначається A * B=C.

Для твору матриць не виконується рівність між матрицями A* B і B* A, В загальному випадку одна з них може бути не визначена.

Множення квадратної матриці будь-якого порядку на відповідну одиничну матрицю не змінює матрицю.

Приклад.Нехай ,, тоді згідно з правилом множення матриць маємо

звідки робимо висновок, що

Визначники та їх властивості.

Нехай дана квадратна матриця третього порядку:

Визначення. Визначником третього порядку, відповідним матриці (1), називається число, що позначається символом

і визначається рівністю

Щоб запам’ятати, які твори в правій частині рівності (2) беруться зі знаком “+”, а які зі знаком “-“, корисно використовувати наступне правило трикутників.

Сформулюємо основні властивості для визначників третього порядку, хоча вони притаманні определителям будь-якого порядку.

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки і стовпці поміняти місцями, т. Е.

2. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1.

3. Якщо визначник має два однакових шпальти чи два однакові рядки, то він дорівнює нулю.

4. Множення всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число λ рівносильно множенню визначника на це число λ .

5. Якщо всі елементи деякого стовпця або деякою рядки означника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо елементи двох стовпців або двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент n-го стовпця ( n-ої рядки) визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один в n-ом стовпці ( n-му рядку) містить перші зі згаданих доданків, а інший – другі; елементи, що стоять на інших місцях, у всіх трьох визначників одні й ті ж.

8 0. Якщо до елементів деякого стовпця (рядки) визначника додати відповідні елементи іншого шпальти (рядки), помножені на будь-який загальний множітель, то величина визначника не зміниться.

міноромдеякого елемента визначника називається визначник, отриманий із даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких розташований цей елемент.

Наприклад, мінор елемента а 1 визначника Δ є визначник 2-го порядку

Алгебраїчним доповненням деякого елемента визначника називається мінор цього елемента, помножений на (-1) p , де р– сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких розташований цей елемент.

Якщо, наприклад, елемент а 2 знаходяться на перетині 1-го стовпця і 2-го рядка, то для нього р\u003d 1 + 2 \u003d 3 і алгебраїчним доповненням є

9 0. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого стовпця або рядка на їх алгебраїчні доповнення.

10 0. Сума добутків елементів будь-якого стовпця або якого-небудь рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого стовпця або іншого рядка дорівнюють нулю.

Виникає питання, чи можна для квадратної матриці А підібрати деяку матрицю, таку що помноживши на неї матрицю Ав результаті отримати одиничну матрицю Е, Таку матрицю називають оберненою до матриці А.

Визначення. Матріцаназивается зворотного квадратної матріцеA, якщо.

Визначення. Квадратна матриця називається невироджених, якщо її визначник відмінний від нуля. В іншому випадку квадратна матриця називається вироджених.

Будь-яка невироджена матриця має зворотну.

Елементарними перетвореннями матрицьє:

перестановка місцями двох паралельних рядів матриці;

множення всіх елементів матриці на число, відмінне від нуля;

додаток до всіх елементами ряду матриці відповідних елементів паралельного ряду, помножених на одне і те ж число.

матриця В, Отримана з матриці Аза допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентної матрицею.

Для невироджених квадратної матриці

третього порядку обернена матриця А -1 може бути обчислена за такою формулою

тут Δ – визначник матриці А,A ij – алгебраїчні доповнення елементів a ij матриці А.

Елемент рядка матриці називається крайнім , Якщо він відмінний від нуля, а всі елементи рядка, що знаходяться лівіше нього, дорівнюють нулю. матриця називається ступінчастою , Якщо крайній елемент кожного рядка знаходиться правіше крайнього елемента попереднього рядка. наприклад:

Чи не ступінчаста; – ступінчаста.

Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: Додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження оберненої матриці. Весь матеріал викладено в простій і доступній формі, наведені відповідні приклади, таким чином, навіть людина без спеціальної підготовки зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю і самоперевірки Ви можете безкоштовно скачати матричний калькулятор \u003e\u003e\u003e.

Я буду намагатися мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» і використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкого підготовки по темі (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник і залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементів ми будемо розглядати числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ – це термін. Термін бажано запам’ятати, він буде часто зустрічатися, не випадково я використовував для його виділення жирний шрифт.

позначення: матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

приклад: розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке відніманні мови не йде:

Це просто таблиця (набір) чисел!

також домовимося не переставляти числа, якщо іншого не сказано в поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Вже згадана матриця має два рядки:

СТАНДАРТ: Коли говорять про розміри матриці, то спочатку вказують кількість рядків, а тільки потім – кількість стовпців. Ми тільки що розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків і стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратної, Наприклад: – матриця «три на три».

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, то такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад точку з координатами «ікс» і «ігрек»:. По суті, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві абсолютно різні точки площини.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій з матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса в матрицю).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, в цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з точки зору виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні некрасиво виглядає.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви розумієте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотний приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус в матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини і помилок.

2) Дія друга. Множення матриці на число.

Все просто, для того щоб помножити матрицю на число, потрібно кожен елемент матриці помножити на дане число. В даному випадку – на трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, чого робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб в матрицю НЕ ПОТРІБНО, по-перше, це тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо – остаточну відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБА ділити кожен елемент матриці на мінус сім:

зі статті Математика для чайників або з чого почати, Ми пам’ятаємо, що десяткових дробів з коми у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажано зробити в цьому прикладі – це внести мінус в матрицю:

А ось якби УСЕ елементи матриці ділилися на 7 без залишку, То тоді можна (і потрібно!) Було б поділити.

В цьому випадку можна і ПОТРІБНО помножити всі елементи матриці на, так як всі числа матриці діляться на 2 без залишку.

Примітка: в теорії вищої математики шкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази «це поділити на це» завжди можна сказати «це помножити на дріб». Тобто, розподіл – це окремий випадок множення.

3) Дія третя. транспонування матриці.

Для того щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованою матриці.

Рядок тут всього одна і, згідно з правилом, її потрібно записати в стовпчик:

Транспонована матриця зазвичай позначається наголосами індексом або штрихом справа вгорі.

Спочатку переписуємо перший рядок в перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другій стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати – це значить повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дію нескладне.
НЕ ВСЕ МАТРИЦІ можна складати. Для виконання додавання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були однаковими за розміром.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і ніякий інший!

скласти матриці і

Для того щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус в матрицю:

Примітка: в теорії вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази «з цього відняти це» завжди можна сказати «до цього додати негативне число». Тобто, віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п’ята. множення матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Значить, множити дані матриці можна.

А ось якщо матриці переставити місцями, то, в даному випадку, множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так уже й рідко зустрічаються завдання із секретом, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливо.

Слід зазначити, що в ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення