Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості кола

Означення. Коло — це сукупність усіх точок на площині, які знаходяться на однаковій відстані від заданої точки О, яка називається центром кола.

Означення. Одиничне коло – коло, радіус якого дорівнює одиниці.
Означення. Радіус кола R – відстань від центра кола О до будь-якої точки кола.
Означення. Діаметр кола D – відрізок, який сполучає дві точки кола та проходить через його центр.

Основні властивості кола

2. Найкоротша відстань від центра кола до січної (хорди) завжди менша радіуса.
3. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести тільки одне коло.
4. Серед всіх замкнених кривих з однаковою довжиною, коло має найбільшу площу.

5. Якщо два кола дотикаються в одній точці, то ця точка лежить на прямій, що проходить через центри цих кіл.

Формули довжини кола та площі круга

Формули довжини кола

Формули площі круга

Рівняння кола

1. Рівняння кола з радіусом r та центром у початку декартової системи координат:

2. Рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметричне рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

Дотична до кола та її властивості

Означення. Дотична до кола – пряма, яка дотикається до кола тільки в одній точці.

Основні властивості дотичних до кола

1. Дотична завжди перпендикулярна до радіуса кола, проведеного до точки дотику.
2. Найкоротша відстань від центра кола до дотичної дорівнює радіусу кола.

3. Якщо дві дотичні, з точками дотику B та C, на одному колі не паралельні, то вони перетинаються в точці A, а відрізок між точкою дотику та точкою перетину однієї дотичної дорівнює такому ж відрізку на іншій дотичній:

Також, якщо провести пряму через центр кола О та точкою перетину A цих дотичних, то кут утворений між однією дотичною і цією прямою, буде дорівнювати куту між іншою дотичною та цією прямою:

Січна кола та її властивості

Означення. Січна кола – пряма, яка сполучає дві точки кола.

Основні властивості січних

1. Якщо з точки поза колом (Q) виходять дві січні, які перетинають коло у двох точках A і B для однієї січної та C і D для іншої січної, то добутки відрізків двох січних рівні між собою:

2. Якщо з точки поза колом Q виходить січна, що перетинає коло у двох точках A і B, та дотична з точкою дотику C, то добуток відрізків січної дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної:

1. Центральні та вписані кути

Якщо на колі позначити дві точки, вони поділять коло на дві дуги.

Є декілька способів того, як розрізняти за назвою, яку з дуг маємо на увазі. Один із них — використовувати в назві маленькі букви латинського алфавіту: ∪ AnB \(.\)

Також можна поставити додаткову точку і в назві, а як третю букву використовувати назву точки — велику букву латинського алфавіту.

Сума градусних мір двох дуг зі спільними кінцями дорівнює 360 ° \(.\)