Как найти арктангенс: формула, функция, свойства

Область определения для функции \(y=\operatorname x\) распространяется на всю прямую с числами, не прерывается и обладает ограничениями. Такая функция строго возрастает на графике.

\(\operatorname \,(\operatorname \,x)=x, если при x\in <\mathbb R>,\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(D(\operatorname \,x)=(-\infty ;\infty )\) (область определения),

Функция arctg обладает следующими свойствами, которые полезно использовать при расчете:

• \(\operatorname (-x)=-\operatorname x\qquad \) (функция не является четной);
• \(\operatorname x=\arcsin >>>\) ;
• \(\operatorname x=\arccos <>>>>,\) если \(x > 0\) ;
• \(\operatorname x=\operatorname >\) ;
• \(\operatorname x=-i\operatorname \) , при \(\operatorname \) в виде обратного гиперболического тангенса, гиперболического ареатангенса.
• \(\operatorname x=i\operatorname \) .

Получение функции арктангенса

Предположим, что имеется некая функция:

Заметим, что эта функция имеет вид кусочно-монотонной. Такая ситуация наблюдается на любом участке области определения. В результате нельзя назвать функцией:

Это связано с нарушением условий однозначности. Проанализируем участок, где функция является возрастающей и имеет каждое значение лишь однажды:

Отрезок \(y=\operatorname \,x\) отличается тем, что здесь функция является монотонно возрастающей со всеми своими значениями, которые она принимает только однажды.

Можно сделать вывод, что на отрезке \(\left(->;>\right)\) имеется обратная функция \(y=\operatorname \,x \) с графиком, симметричным графическому изображению \(y=\operatorname \,x\) на участке \(\left(->;>\right)\) по отношению к прямой \(y=x\) .

График арктангенса

Рассматриваемая аркфункция характеризуется определенным графиком. Изобразить арктангенс на координатной плоскости можно с помощью преображения графика, которому соответствует тангенс. В процессе требуется переместить между собой оси абсцисс и ординат.

Необходимо избавиться от многозначности. Для этого следует ввести ограничение на множество из значений функции в виде интервала: \(- frac2 leqslant y leqslant frac2\) . На этом отрезке функция характеризуется монотонностью. Такой интервал носит название основного значения арктангенса.

График функции \(y=\operatorname \,x\) (можно построить в программе Эксель при вводе нужной формулы):

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Обратными функциями в тригонометрии называют такие функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

Существует несколько основных аркфункций:

• арксинус, \(\arcsin x\) , представляет собой угол, синус которого определен, как \(х\) ;
• арккосинус, \(\arccos x\) , в виде угла с косинусом \(х\) ;
• арктангенс, \(\operatorname x\) , или \(\) ;
• арккотангенс, \(\operatorname x\) , или \(\operatorname x\) , или \(\operatorname x\) ;
• арксеканс, \(\operatorname x\) ;
• арккосеканс, \(\operatorname x\) , или \(\operatorname x\) .

Обратные тригонометрические функции обладают особыми наименованиями. Названия аркфункций формулируют путем приписывания к наименованию функции приставки «арк-».

Функции в тригонометрии отличаются периодичностью. В связи с этим обратные к ним функции обладают множеством значений в виде углов (дуг), для которых конкретная прямая функция определена соответствующим числом.

Под функцией \(\arcsin 1/2\) понимается множество углов \(\left ( \frac<\pi>, \frac, \frac, \frac \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right ).\)

Если посчитать, синус перечисленных углов соответствует 1/2.

Если рассмотреть множество значений обратной тригонометрической функции, то можно получить ключевые ее значения. Данные значения подразумевают при упоминании арксинуса, арккосинуса и других аркфункций.

\( -1\leqslant \alpha \leqslant 1.\)

Тогда каждое из решений уравнения \(\sin x=\alpha\) допустимо записать, как:

\(x=(-1)^\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~\)

Здесь -1 записано в n степени. Значения функций можно не считать, а посмотреть в таблице.

При нахождении ответов в процессе решения задач, в условии которых присутствуют такие функции, как: синус, косинус, тангенс, котангенс угла, обратные им функции — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс — определяют угол. В том случае, когда речь в задании идет о тригонометрических функциях числа, то аркфункции также будут определяться в виде числа.

Арксинус числа а \(\in [−1, 1]\) является числом \(t\in [−\frac<\pi>\) , \(\frac<\pi>]\) с синусом, равным а.

Арккосинус числа \(а \in [−1, 1]\) является числом \(t\in [0, \pi]\) с косинусом, равным а.

Арктангенс числа а \(\in (−\infty, \infty)\) является числом \(t\in(-\frac<\pi>\) , \(\frac<\pi>)\) с тангенсом, равным а.

Арккотангенс числа а \(\in (−\infty, \infty)\) является числом \(t\in (0, \pi)\) с котангенсом, равным а. В данном случае используют знак бесконечности, когда речь идет об определении а.

Представим, что имеется число, арксинус которого равен \(-\frac\) . Тогда нужным числом является \(-\frac<\pi>\) со знаком минус. В результате:

В данном случае:

Важно различать задачи, где аркфункции являются числами, а где — углами. Данное условие можно понять по контексту. Если указана обратная тригонометрическая функция а без каких-либо уточнений, то ее допускается определять, как аркфункцию а в виде угла или числа.

В том случае, когда в записи обратной тригонометрической функции присутствуют градусы с минутами или радианы, к примеру, \(\arcsin a+10°\) , подразумевается вычисление данной аркфункции в виде угла с определенной градусной мерой или в радианах.

Насколько полезной была для вас статья?

Обратная тригонометрическая функция: Арккотангенс (arcctg)

Арккотангенс (arcctg или arccot) – это обратная тригонометрическая функция.

Арккотангенс x определяется как функция, обратная к котангенсу x .

Если котангенс угла у равен х (ctg y = x), значит арккотангенс x равняется y :

Примечание: ctg -1 x означает обратный котангенс, а не котангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = ctg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арккотангенса

Функция арккотангенса пишется как y = arcctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом ( 0 < y < π, –∞ < x +∞ ):

Свойства арккотангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккотангенса с формулами.