4.2: Що таке дріб?

Цей останній приклад насправді щось говорить! Він також представляє, як дроби зазвичай навчаються студентам:

Якщо один пиріг розділити порівну між двома дітьми, то кожна дитина отримує порцію пирога, яку ми вирішили назвати «половиною».

Таким чином учнів навчають \(“ \frac ” \) пов’язувати число з картинкою .

Таким же чином картинка, як кажуть, представляє «третину», тобто \(\frac\) . (І це дійсно кількість пирога, який отримає окрема дитина, якщо один пиріг буде ділитися між трьома.)

Картина називається «одна п’ята» і дійсно \(\frac\) , кількість пирога отримує людина, якщо три пирога ділять між п’ятьма дітьми.

А картинка називається «три п’ятих», щоб представляти \(\frac\) , кількість пирога отримує людина, якщо три пирога розділені між п’ятьма дітьми.

Подумайте/Пара/Поділитися

Уважно поясніть, чому це так: якщо п’ятеро малюків поділяють три пирога порівну, кожна дитина отримує суму, яка виглядає так: .

Ваше пояснення, ймовірно, зажадає як слів, так і картинок.

На свій розсуд

Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.

1. Намалюйте картинку, пов’язану з дробом \(\frac\) .
2. Намалюйте картинку, пов’язану з дробом \(\frac\) . Чи дійсно ваша фотографія кількість пирога, яку людина отримає, якщо три пироги діляться між сімома дітьми? Будьте дуже зрозумілі з цього питання!
3. Давайте працювати назад! Ось відповідь на проблему поділу:
   Це означає кількість пирога, який отримує окремий малюк, якщо деяку кількість пирогів ділиться між деякою кількістю дітей. Скільки пирогів? Скільки дітей? Як ви можете виправдати свої відповіді?
4. Ось ще одна відповідь на проблему поділу:
   Скільки пирогів? Скільки дітей? Як ви можете виправдати свої відповіді?
5. Ось ще одна відповідь на проблему поділу:
   Скільки пирогів? Скільки дітей? Як ви можете виправдати свої відповіді?
6. Лі каже, \(\frac\) що «в три рази більше, ніж» \(\frac\) . Чи правильно це? Поясніть свою відповідь.
7. Намалюйте картинку для відповіді на задачу поділу \(\frac\) . Опишіть, що ви помітили про відповідь.
8. Намалюйте картинку для відповіді на задачу поділу \(\frac\) . Опишіть, що ви помітили про відповідь.
9. Що \(\frac\) являє собою проблема поділу? Скільки пирога отримує окрема дитина?
10. Що \(\frac\) являє собою проблема поділу? Скільки пирога отримує окрема дитина?
11. Що \(\frac\) являє собою проблема поділу? Скільки пирога отримує окрема дитина?
12. Ось відповідь на іншу проблему поділу. Це кількість пирога, який отримує окрема дитина:
    Скільки пирогів було в задачі поділу? Скільки дітей було в проблемі поділу? Обґрунтуйте свої відповіді.
13. Ось відповідь на іншу проблему поділу. Це кількість пирога, який отримує окрема дитина:
    Скільки пирогів було в задачі поділу? Скільки дітей було в проблемі поділу? Обґрунтуйте свої відповіді
14. У багатьох викладачів молоді учні ділять різну форму пироги на фракції. Наприклад, гексагональний пиріг хороший для ілюстрації дробів: $$\ frac ,\ frac ,\ frac ,\ frac ,\ frac ,\; і\;\ frac \ ldotp$$

• Для чого використовується така форма? Як виглядає \(\frac\) пиріг?
• Як виглядає \(\frac\) пиріг?
• Яка форма пирога була б хороша для ілюстрації дробів \(\frac\) до \(\frac\) ?

Проблема 1

Деякі прямокутні пиріжки роздають деякій кількості малюків. Ця картинка представляє кількість пирога, який отримує окрема дитина. Великий прямокутник являє собою один цілий пиріг.

Скільки пирогів? Скільки дітей? Ретельно обгрунтуйте свої відповіді!

Пироги для дитини Модель

Подумайте/Пара/Поділитися

• Що таке \(\frac\) ? Що таке \(\frac\) ? Що таке \(\frac\) ? Як ви можете використовувати «Пироги на дитину модель», щоб мати сенс \(\frac\) для будь-якого позитивного цілого числа ?
• Що таке \(\frac\) ? Що таке \(\frac\) ? Що таке \(\frac\) ? Як ви можете використовувати «Пироги на дитину модель», щоб мати сенс \(\frac\) для будь-якого позитивного цілого числа ?
• Напишіть відповідь на цю проблему поділу: «У мене немає пирогів, щоб розділити між тринадцятьма малюками». Як можна узагальнити цю задачу поділу, щоб зробити загальне твердження про дробах?

Визначення

Більшість людей наполягають на тому, щоб чисельник і знаменник кожен були цілими числами, але вони не обов’язково повинні бути.

Подумайте/Пара/Поділитися

Щоб зрозуміти, чому чисельник і знаменник не повинні бути цілими числами, треба спочатку бути трохи жахливими. Замість того, щоб ділити пиріжки, давайте ділимо дітей! Ось одна дитина:

• Як би виглядала половина дитини?
• Як виглядала б третина дитини?
• Як виглядали б три п’яті дитини?

Отже, що б $$\ frac <\ left (\ dfrac \ право)> $$ представляти?

Це означає призначення по одному пирогу кожній «групі» половини дитини. Так скільки б отримувала ціла дитина? Ну, у нас була б така картина:

Вся дитина отримує два пирога, тому у нас:

Подумайте/Пара/Поділитися

Намалюйте картинки для цих проблем, якщо це допоможе!

1. Що означає $$\ frac <\ left (\ dfrac \ праворуч)> $$? Обґрунтуйте свою відповідь, використовуючи модель «Пироги на дитину».
2. Що таке $$\ frac <\ left (\ dfrac \ праворуч)>? $ $ Обґрунтуйте свою відповідь.
3. Поясніть, чому дріб $$\ frac <\ left (\ dfrac \ справа)> $$ представляє число 10. (Скільки пирога дають половинці малюка? Цілому малюкові?)
4. Що таке $$\ frac <\ left (\ dfrac \ праворуч)>? $ $ Обґрунтуйте свою відповідь.
5. Завдання: Два з половиною пироги повинні ділитися порівну між чотирма з половиною дітей. Скільки пирога отримує індивідуальна (ціла) дитина? Обґрунтуйте свою відповідь.

Жаргон: Неправильні дроби

Дріб з чисельником, меншим за його знаменник, називається (в шкільному математичному жаргоні) правильним дробом. Наприклад, \(\frac\) це «власне».

Дріб з чисельником, більшим за його знаменник, називається (в шкільному математичному жаргоні) неправильним дробом. Наприклад, \(\frac\) є «неправильним». (У 1800-х роках ці фракції називали вульгарними фракціями. )

Чомусь неправильні фракції вважаються, ну, неправильними деякими вчителями. Тому учнів часто просять написати неправильні дроби у вигляді комбінації цілого числа і правильного дробу (часто його називають «мішаними числами»). Незважаючи на свою назву та ці забобони, неправильні фракції, тим не менш, корисні!

При змішаному числі ви добре розумієте загальний розмір числа: «трохи більше п’яти» або «трохи менше 17». Але часто простіше робити розрахунки з неправильними дробами (чому ви думаєте, що це так?).

Приклад: \(\frac\)

Якщо сім пирогів розділити між трьома малюками, то кожен малюк неодмінно отримає по два цілих пирога, залишивши один пиріг розділити між трьома дітьми.

Таким чином, \(\frac\) дорівнює 2 плюс \(\frac\) . Люди пишуть: $$\ frac = 2\ frac $$ і називають результат мішаним числом. Можна також написати: $2 +\ frac $$ що \(2 \frac\) насправді означає. Але більшість людей вважають за краще опустити знак «плюс».

Приклад: \(\frac\)

Якщо 4 діти поділяють 23 пирога, ми можемо дати їм кожен по 5 цілих пирогів. Це використовує 20 пирогів, а залишилося 3 пироги.

Ці три пироги все ще повинні ділитися порівну чотирма дітьми. У нас є: \[\frac = 5 \frac \ldotp \nonumber \]

Приклад: \(2 \frac\)

Для задоволення запишемо число 2 у вигляді дробу зі знаменником 5: \[2 = \frac \ldotp \nonumber \]

Отже: \[2 \frac = 2 + \frac = \frac + \frac = \frac \ldotp \nonumber \]

Ми написали мішане число \(2 \frac\) як неправильний дріб \(\frac\) .

Подумайте/Пара/Поділитися

• Запишіть кожне наступне як змішане число. Поясніть, як ви отримали свою відповідь. $\ frac ,\ qquad\ frac ,\ qquad\ frac ,\ qquad\ frac \ ldotp$$
• Перетворіть кожне з цих мішаних чисел у «неправильні» дроби. Поясніть, як ви отримали відповідь. $3\ frac ,\ qquad 5\ frac ,\ qquad 1\ frac ,\ qquad 200>\ ldotp$$

Студентів часто просять запам’ятати назви «правильні дроби», «неправильні дроби» та «змішане число», щоб вони могли слідувати вказівкам на тестах та наборах задач.

Але, для математика, ці імена зовсім не важливі! Немає «правильного» способу висловити відповідь (припускаючи, що відповідь математично є правильним числом). Ми часто хочемо висловити свою відповідь в простішій формі, але іноді контекст підкаже, що таке форма «проста», а яка форма складніша.

Коли ви працюєте над проблемами в цьому розділі, вирішіть для себе, з яким типом дробу буде найкраще працювати, коли ви виконуєте своє завдання.

Свято Трьох Королів: чому поляки печуть мигдальні пироги й пишуть на дверях три великі літери

6 січня в Польщі відзначають свято Богоявлення або торжество Трьох Королів (пол.Trzech Króli). Також можна почути й інші назви: Трьох Царів, Трьох Волхвів, Трьох Мудреців. Це одне з найбільш важливих і стародавніх християнських свят в католицькій церкві, близьке за значенням до Великодня та Різдва.

Як пoвідoмляє Yavp.pl, свято Трьох Королів має таку ж довгу історію, як і саме Різдво, і сягає корінням в Євангеліє, де описані події принесення дарів волхвами Немовляті Ісусу. Вони принесли йому смирну, ладан і золото. До місця, де народився Спаситель, їх привела Віфлеємська зірка.

День Трьох Королів у Польщі

Це свято пов’язане з євангельською історією, коли волхви принесли дари Немовляті Ісусу. До сих пір точно невідомо, хто ж були ці три чоловіки. Хтось каже, що вони були мудрецями і волхвами (магами, жрецями), але в Польщі їх називають саме “трьома королями” (Trzy Króli).

У наш час християни західного обряду, пам’ятаючи про цю подію, святять золото, ладан, воду та крейду. У Польщі на дверях осель можна побачити напис, зроблений посвяченою в костелі крейдою – три літери K+M+B. Ладаном кадять в будинку – від хвороб і злих духів. Золотом проводять по шиї мешканців оселі, вірячи, що це захистить людину від хвороб та зурочення.

Більшість віруючих у Христа людей відвідують 6 січня богослужіння, після яких виходять на вулиці й беруть участь у карнавальних ходах і виставах. На свято поляки приходять в яскравих костюмах, з зірками та іншою різдвяною атрибутикою, щоб співати колядки (kolędy).

Перша хода Трьох Королів у сучасній історії Польщі відбулася в 2008 році. З тих пір цей захід перетворився на одну з найбільших соціально-культурних подій з таким яскраво вираженим християнським посланням. Починаючи з 1 січня 2011 року, вперше за півстоліття, свято Трьох Королів стало вихідним, раніше це був звичайний робочий день. У Польщі в Богоявлення (6 січня) повинні бути закриті всі великі магазини. Торгівля допускається тільки на автозаправних станціях і в невеликих магазинах.

Так само ввечері цього дня діти ходять по домівках і співають колядки, збираючи солодощі в якості нагороди й заохочення.

Звичай написання літер

Після Служби Божої в храмах роздають освячену крейду, якою парафіяни пишуть на дверях своєї квартири K + M + B і рік, що розпочався. Існує декілька варінтів написання магічних літер, як, зрештою, і пояснень, що саме вони символізують.

За однією з версій, K + M + B – це перші літери імен тих самих трьох волхвів, які прийшли поклонитися Немовляті Ісусу й принесли йому свої дари – Каспер, Мельхіор і Бальтазар (Kacper, Melchior i Baltazar). За іншою, напис виглядає трохи інакше: замість літери “К” пишуть “С”, ось так: C + M + B. Інтерпретують це, як перші літери слів, що складають фразу латиною “Christus mansionem benedicat”, що означає “Хай благословить Христос цей дім”.

Цікаво, що “+” – це не “плюс”, а хрестик – тобто, знак благословіння. Отже, в будь-якому випадку, напис трьох літер на дверях свідчить, що цей будинок – християнський, в ньому живуть люди, які готові виконувати волю Божу; що цей будинок відкритий для інших – тих, кого потрібно підтримати і словом, і ділом.

За однією з глибоких християнських традицій саме на свято Богоявлення, а не на Новий рік і не на Різдво, батьки дарують своїм дітям подарунки, беручи приклад з трьох мудреців.

Обов’язкова страва на святковому столі

Традиційно на свято Богоявлення в Польщі прийнято випікати солодкий пиріг з мигдалю. У такій випічці ховають один цілий мигдальний горіх. Той, кому дістанеться шматок пирога з “сюрпризом”, вважається “мигдальним королем”. Існує повір`я, що цей горіх приносить удачу.

Ще одна традиція, пов`язана зі святом Трьох Королів, це домашні рогалики “шчодркі”(szczodrki). Їх випікають спеціально для того, щоб роздавати діятм, які приходитимуть співати колядки.

За католицькою традицією, свято Трьох Королів завершує цикл довгих зимових свят у Польщі.