Зміст:
Корені квадратного рівняння
Рішення квадратних рівнянь вельми важливо для вирішення практичних завдань з фізики, так як багато формули мають старшу ступінь 2, в програмуванні та багатьох інших суміжних дисциплінах. Способів вирішити рівняння не так багато, але чим більше рівнянь ви вирішуєте, тим швидше і простіше стає знаходження коренів. Сьогодні ми розглянемо рішення повних квадратних рівнянь стандартної форми.
Квадратне рівняння
Квадратне рівняння – це рівняння, старша ступінь якого дорівнює 2. Таке рівняння завжди має два кореня, іноді ці корені збігаються, а іноді їх немає серед дійсних чисел. В останньому випадку, ми пишемо, що дійсних коренів немає.
У квадратному рівнянні стандартної форми, є три коефіцієнта:
- а-перший коефіцієнт
- в-другий коефіцієнт
- з-вільний член рівняння.
Стандартна форма рівняння записується так:
a ^ 2 * х + у * х + с = 0 – де а, в, с – чисельні коефіцієнти.
Коефіцієнт а може дорівнювати 1, тоді старший член записується без чисел. Коефіцієнт при невідомому рівний 1 ніколи не пишеться, просто мається на увазі.
Види квадратного рівняння
Квадратні рівняння бувають повні, де всі коефіцієнти мають числові значення, і неповні, де другий коефіцієнт або вільний член дорівнює нулю.
Якщо перший коефіцієнт дорівнює 1, то рівняння називають наведеним та його можна вирішити двома способами. Якщо а> 1, спосіб вирішення тільки один.
Способи знаходження коренів квадратного рівняння
Стандартний спосіб визначення коренів рівняння – через дискримінант. Цей спосіб працює з будь-яким квадратним рівнянням, незалежно від його виду і коефіцієнтів. Якщо перед нами наведене квадратне рівняння, то можна скористатися теоремою Вієта. Вона вимагає деякого досвіду, але при певному навику прискорює рішення рівняння в кілька разів.
Використання теореми Вієта дозволяє не відволікатися на проміжні обчислення в задачах і легкі приклади, продовжуючи вирішувати далі.
Теорема Вієта
Теорема Вієта говорить, що якщо x1 і x2 – коріння квадратного рівняння, то їх сума дорівнює -в, а твір с. Це не зовсім те, що потрібно для вирішення, але зворотна теорема говорить про те, що, якщо сума двох чисел дорівнює -в, а твір числа с, то ці числа і є корені рівняння.
Різниця двох теорем в тому, що в першій вже є готові коріння, а друга допомагає нам їх знайти.
Наведемо приклад і вирішимо наведене повне квадратне рівняння стандартної форми.
х 2 + 3х-10 = 0 – це рівняння наведене, значить скористаємося теоремою, зворотної теоремі Вієта.
Твір чисел негативно, значить один з коренів негативний. Причому негативний корінь більше позитивного на 3, так як результат складання вийшов негативним. Почнемо перебір і знайдемо коріння квадратного рівняння для цього прикладу. Припустимо, що один з коренів дорівнює 3, тоді:
3 * (- 6) = – 18 $$ – не співпало.
Ось так, перебором і вирішується рівняння. Чим більше розв’язаних прикладів, тим швидше підбір. Але недосвідчений учень може вирішувати цим способом дуже довго. Тому на контрольні й іспити, якщо ви не впевнені в собі, краще використовувати стандартний спосіб обчислення.
Дискримінант
Дискримінант це число, що характеризує рівняння. Коріння квадратного рівняння рівні.
При цьому дискриминант дорівнює:
Майте на увазі, дискриминант може дорівнювати 0 і бути негативним. Але в першому випадку, коріння збігаються, а в другому – дійсних коренів немає.
Що ми дізналися?
Ми дізналися, як вирішуються квадратні рівняння. Привели два способи вирішення і сказали, в якому випадку можна, а в якому не можна користуватися теоремою Вієта. Привели формулу знаходження дискримінанту і рішення через це значення.
Вправи. Квадратні рівняння.
Ці вправи дозволять перевірити, як ви вмієте розв’язувати квадратні рівняння.
Розв’язання задач і вправ кращій спосіб перевірити свої знання і закріпити вивчений матеріал!
4 x 2 + 3 x – 4 = 0
Для переходу до наступного завдання натисніть кнопку “Наступний приклад”.
Увага. Після переходу до нового завдання ви не зможете повернутися до цього прикладу.
Правила. Квадратне рівняння та його розв’язки
a x 2 + b x + c = 0,
де a не дорівнює 0.
Розв’язати квадратне рівняння означає знайти всі значення xi , при яких буде виконуватися рівність
Для розв’язання квадратного рівняння необхідно обчислити дискримінант многочлену
Теорема Вієта
дорівнює коефіцієнту p , взятому з оберненим знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену q :
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.
Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.
Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]
Про автора