Мільйони, мільярди і трильйони

Плем’я Піраха – це група, що живе в джунглях Південної Америки. Вони добре відомі тому, що не вміють рахувати останні два. За словами Даніеля Л. Еверетта, лінгвіста та професора, який провів десятиліття, живучи серед племені та вивчаючи його, у пірах немає числових слів, щоб розрізнити ці два числа.   Усе, що перевищує два, є «великим» числом.

Більшість людей схожі на плем’я Піраха. Ми можемо вміти рахувати останні два, але настає момент, коли ми втрачаємо наше розуміння чисел. Коли цифри стають достатньо великими, інтуїція зникає, і все, що ми можемо сказати, це те, що число «справді велике». В англійській мові слова « мільйон » і «мільярд» відрізняються лише однією буквою, але ця буква означає, що одне зі слів означає щось, що в тисячу разів більше за інше.

Чи справді ми знаємо, наскільки великі ці цифри? Хитрість думати про великі числа полягає в тому, щоб пов’язати їх із чимось значущим. Наскільки великий трильйон? Якщо ми не придумали конкретних способів уявити це число у співвідношенні з мільярдом, усе, що ми можемо сказати, це: «Мільярд — це велике, а трильйон — ще більше».

Мільйони

Спочатку подумайте про мільйон:

• Один мільйон — це тисяча тисяч.  
• Один мільйон — це 1 із шістьма нулями після нього, що позначається як 1 000 000.
• Один мільйон секунд – це приблизно 11 з половиною днів.
• Один мільйон пенні, покладений один на одного, утворив би вежу майже в милю заввишки.  
• Якщо ви заробляєте 45 000 доларів на рік, вам знадобиться 22 роки, щоб накопичити стан у 1 мільйон доларів.
• Один мільйон мурах важив би трохи більше 6 фунтів.
• Один мільйон доларів, розділений порівну між населенням США, означатиме, що кожен у Сполучених Штатах отримає приблизно одну третину одного цента.

Мільярди

Далі один мільярд:

• Один мільярд — це тисяча мільйонів.
• Один мільярд – це 1 з дев’ятьма нулями після нього, що позначається як 1 000 000 000.
• Один мільярд секунд – це приблизно 32 роки.  
• Один мільярд пенні, покладений один на одного, утворив би вежу висотою майже 870 миль.  
• Якщо ви заробляєте 45 000 доларів на рік, знадобиться 22 000 років, щоб накопичити статки в один мільярд доларів.
• Один мільярд мурах мав би вагу понад 3 тонни — трохи менше, ніж вага слона.
• Один мільярд доларів, розділений порівну між населенням США, означатиме, що кожен у Сполучених Штатах отримає приблизно 3,33 долара.  

Трильйони

Після цього трильйон:

• Один трильйон — це тисяча мільярдів або, що еквівалентно, мільйон мільйонів.
• Це 1 з 12 нулями після нього, що позначається як 1 000 000 000 000.
• Один трильйон секунд – це 32 000 років.  
• Один трильйон пенні, покладений один на одного, утворив би вежу заввишки близько 870 000 миль — таку ж відстань можна отримати, якщо потрапити на Місяць, повернутися на Землю, а потім знову на Місяць.  
• Один трильйон мурашок важив би понад 3000 тонн.
• Один трильйон доларів, розділений порівну між населенням США, означатиме, що кожен у Сполучених Штатах отримає трохи більше 3000 доларів.  

Що далі?

Про числа, що перевищують трильйон, говорять не так часто, але для цих чисел є назви . Більш важливим, ніж імена, є знання того, як думати про великі числа. Щоб бути добре поінформованим членом суспільства, ми справді повинні знати, наскільки великими є такі цифри, як мільярд і трильйон.

Це допомагає зробити цю ідентифікацію особистою. Придумуйте власні конкретні способи говорити про величину цих чисел.

1. Еверетт, Деніел. (2005). ” Культурні обмеження граматики та пізнання в пірахі: інший погляд на особливості дизайну людської мови “. Актуальна антропологія, вип. 46, вип. 4, 2005, стор. 621-646, doi:10.1086/431525
2. «Скільки тисяч становить 1 мільйон?» Університет Регіни, mathcentral.uregina.ca.
3. Мілліман, Хейлі. « Скільки мільйонів у мільярді? Мільярди в трильйоні? ” blog.prepscholar.com.
4. « Скільки коштує мільярд? » www.plainenglish.co.uk.
5. « Скільки коштує трильйон? NPR, 8 лютого 2008 р.

8.1: Мільйон, мільярд, трильйон – великі цифри та гроші

Помилкові уявлення про велику кількість є одними з найбільш стійких і клопітких бітів дезінформації. Не тільки дітям, а й великій частці дорослих в нашому суспільстві не вистачає хорошого розуміння того, що таке великі цифри, скільки більше мільярда, ніж мільйон, і багато іншого. Майже ніхто не має хорошої візуальної концепції того, як виглядає мільйон чогось. Ви можете собі уявити, як виглядає десяток пончиків і наскільки велика коробка, яку потрібно покласти в них – але як виглядає мільйон пончиків?

Коли ми досягаємо домену мільйонів, мільярдів, трильйонів і далі, назви наших чисел тепер відображають сили 1000. Психологи та антропологи кажуть нам, що люди мають здатність легко розумово концептуалізувати групи до п’яти або близько того, і з трохи практики (і за допомогою наших пальців!) ми можемо отримати досить добре в концептуалізації груп з десяти. Таким чином, візуалізація 100 як десять груп з десяти знаходиться в межах майже будь-кого. У порівнянні з цим, групи 1000 виходять за межі когось пізнавального розуміння. Так, ми обробляємо такі числа математично і чисельно; але концептуально ми втрачаємо досить швидко.

Хочете докази? Спробуйте цей розумовий експеримент: Подумайте про десять кульок. Отримав картину подумки? Добре! Тепер подумайте про тисячу кульок. Наскільки вона велика? Скільки він важить? Наскільки великий контейнер вам знадобиться, щоб вмістити їх усі? Якщо вам потрібно 1000 кульок, і ви побачили групу з 750 кульок, не могли б ви сказати на око, що вам не вистачає? Я вважаю, що якщо у вас була робота з коробками 1000 мармуру цілий день, ви могли б сказати, але загалом, відповідь на всі ці питання когнітивно виходить за межі нашої досяжності. Як люди, ми просто не психічно зображуємо або обробляємо великі числа дуже добре без великої практики.

Комп’ютери додають плутанини для більшості студентів (і дорослих!) Комп’ютер з 200 мегабайтами пам’яті (200 мільйонів байт) виглядає так само, як модель з 3 гігабайтами пам’яті (3 мільярди байт). USB-накопичувач з 32 мегабайтами виглядає так само, як USB-накопичувач з 32 гігабайтами, хоча ємність в тисячу разів більше! Газети та мовники, які читають новини по телебаченню, не краще; диктори стрибнуть з однієї історії про пожежу, завдаючи шкоди на три мільйони доларів історії про купюру витрат на два трильйони доларів у Конгресі, не намагаючись пояснити різницю між ними. Такі заходи, як ця, і шляхом обговорення ідей, які вони містять, є важливими для ваших учнів.

Як дорослі, ми, як очікується, працюватимемо з комп’ютерами, які зазвичай використовують такі терміни, як мега (мільйон), гіга (мільярд) та терра (трильйон). Як виборці, ми, як очікується, будемо вибирати кандидатів на посаду, слухаючи їхні економічні та податкові плани, що залучають мільйони, мільярди, і так, трильйони доларів. Як ми можемо підготувати сьогоднішніх дітей до успішного виконання будь-якої з цих речей, якщо вони не мають фундаментального розуміння цих понять? Ця діяльність нарешті покладе ідеї мільйонів, мільярдів та трильйонів на тверду фізичну та візуальну основу.

Студентські результати

1. Той факт, що великі числа збільшуються в потужностях 1000 замість звичайної потужності 10, робить їх важче візуалізувати легко.
2. Навчитися візуалізувати і осмислювати сили 1000 в тисячах, мільйоні, мільярдах, трильйоні вимагає практики! Ми повинні спробувати уявити велику кількість різних речей, щоб ознайомитися з цими вагами.

Що ваші учні дізнаються про науку?

1. Ці великі цифри представляють особливий інтерес в астрономії, де відстані і розміри так сильно різняться. Наше використання повноважень 1000 полегшує обговорення та розуміння великих розмірів та відстаней.
2. Більш просунуті заняття з науки та математики (середня школа та коледж) використовують те, що називається науковими позначеннями, щоб допомогти впоратися з цими дуже великими та дуже малими числами. Наукові позначення виходять за рамки цієї книги, але ці методи написання та обчислення з дуже великими та малими числами допомагають нам впоратися з усім, починаючи від відстані між зірками і закінчуючи надзвичайно малим розміром атома.

Проведення діяльності

Матеріали

1. Трильйон доларів. Ні? Гаразд, як щодо пакета індексних карток або декількох папок з файлами маніли, які ми можемо вирізати та розфарбувати, щоб представляти гроші?
2. Пара LEGO ® фігурки або подібна 2-дюймова іграшкова фігурка.
3. Два, 3-футові квадратні шматки картону.
4. Фарби і фломастери (зелені, звичайно!) , маркери добре працюють для цього.
5. Клейові палички і гарячий клей.

Побудова моделі великих чисел

1. Розріжте індексні картки на смужки шириною ¼ дюйма. Розріжте кожну смужку на ½ дюйма шматочки. Вам знадобиться багато з них, так що якщо кожен студент робить одну карту, ви повинні мати достатньо.
2. Позначте п’ять штук «100 доларів» і склейте їх разом, щоб вони були роздуті, як рука карт. Коли висохне, пофарбуйте цю укладку зеленим хайлайтером. Приклейте цю розвіяну стопку готівки в руку однієї з ваших маленьких фігур, щоб представляти $10,000 – обов’язково намалюйте посмішку на обличчі маленького хлопця! Нагадайте своїм студентам, що потрібно сто $100 купюр, щоб зробити $10,000 доларів.
3. Тепер використовуйте клейові палички, щоб склеїти стопки цих вирізаних шматочків індексної картки разом – чотири штуки на стопку. Після того, як вони висохнуть, позначте кожен стек «$10,000» ручкою або чорним маркером і зафарбуйте його зеленим підсвічуванням або блідо-зеленим маркером. Кожен стек тепер являє собою купу 100, сто доларових купюр – $10,000 готівкою кожен!
4. Зробіть 100 таких паль. Так, кожен студент у вашому класі 30 доведеться виробляти 3-4 з них для вас, щоб мати достатньо! Після того, як у вас є сто цих паль – кожна з яких становить $10,000 – тоді ви «надрукували» мільйон доларів. і тепер ви знаєте, як почуваються ці люди на Монетному дворі США! Заробляння грошей – це велика робота!
5. Зробіть невеликий лоток для кафетерії зі шматка картону або пластику з контейнера для молока. Приклейте це до рук другої дії фігури і укладіть на неї $1,000,000 доларів. Вам доведеться укладати акуратно, це робить досить охайну купу готівки, чи не так? Це досить хороша модель для фізичного розміру мільйона доларів готівкою в 100 доларів! (ВЕЛИКА посмішка, маленький хлопець!)

Вивчення моделі великих чисел

1. Тепер прийшов час піти по-великому. прийшов час заробити мільярд доларів!Ні, нам не знадобиться набагато більше індексних карток, одна папка маніли та трохи білого клею та маркерів підійдуть просто чудово. Один мільярд доларів – це стек 100 купюр, що в тисячу разів більше, ніж наш мільйонний стек. Це акуратно складений куб 100 купюр, який має вісім футів завдовжки з кожного боку.Припускаючи, що ваша 2-дюймова фігура має висоту 6 футів, давайте плануємо купу ігрових грошей, яка становить 2½ дюймовий куб. Візьміть папку з манілою і виріжте кубик 2,5 дюйма, як показано на схемі нижче, склейте його разом і прикрасьте.

Щоб дати вам деяке уявлення, наша купа мільярдів доларів містить десять мільйонів 100 купюр. Це схоже на наявність твердого куба щільної деревини 8 футів на боці – він важить десять тонн (10 000 кг), і тільки найбільші промислові навантажувачі можуть його переміщати.

1. Гаразд, великий – це відносна річ. А як щодо трильйона доларів?Ну, давайте розглянемо стандартне шкільне футбольне поле. так, дійсно. Якщо ми взяли американське шкільне футбольне поле 100 ярдів х 60 ярдів, ми отримаємо площу 6000 квадратних ярдів. З іншого боку, якщо ми маємо тисячу кубів на мільярд доларів, це становить 6250 ярдів. Це означає, що наш стек з десяти мільярдів доларів купюр займе ціле футбольне поле, плюс близько 8 футів додатково на будь-якому кінці, щоб мати місце для цілей, і склав його вісім футів глибоко в акуратно складені $100 купюри. Так, трильйон доларів – це багато грошей.
2. Щоб зберегти масштаб, нам знадобиться площа 10’4 «х 4’2» і 2,5» заввишки. Це може бути трохи багато для вашого класу, щоб вирішити, але якщо ви хочете побудувати його в секціях і поставити їх поруч один з одним – це робить потужний дисплей на підлозі гімназії. особливо якщо ви робите маленькі футбольні цілі і використовуєте трохи гумбол для футбольного м’яча і маєте кілька фігур дій, що бігають на це!
3. Якщо моделювання чогось такого великого трохи багато, подумайте про те, щоб взяти 3-футовий квадрат картону і виміряти і побудувати куб, як показано нижче. Зробіть це довжиною 30 дюймів, шириною 18 дюймів і висотою 1½ дюйма. У такому масштабі ваша фігура становить приблизно ¼ дюйма заввишки. Я ніколи не бачив фігурку або іграшку цієї маленької, я думаю, вам просто доведеться намалювати її на папері і приклеїти його до вашого футбольного поля грошей (не забувайте, що велика посмішка!)
4. Ох, а якщо ви хочете змоделювати держборг за масштабами нашої дійової фігури? Це стек блоків мільярда доларів, довжиною 10’4», шириною 4’2″ і висотою 4 фути. Це дев’ятнадцять трильйонів доларів. і це збирає відсотки!

Питання для обговорення

1. Ви виграли в лотерею! Вони пропонують вам ваш вибір: Один мільярд доларів сьогодні. або мільйон доларів на день протягом року! Який слід вибрати і чому?
   • Відповідь Мільярд на 1000x більше мільйона. Рік триває лише 365 днів – ви б в кінцевому підсумку мали лише 1/3 грошей, якби ви взяли мільйон на день!
2. Новий проект будівництва автомагістралі обійдеться в 1,3 мільярда доларів. Скільки грошей становить .3?
   • Відповідь 300 мільйонів доларів!

Додаткові матеріали

Заглиблюючись

Говорити про гроші – це весело, але студенти часто не добре розуміють гроші, особливо коли вони молодші. Проблема мільйона мільярдів трильйонів може бути цікавою багатьма способами, давайте зробимо це про те, що знає і любить кожен студент – пончики.

Ви отримуєте 12 пончиків у коробці розміром 9x9x4 дюймів. Тепер попросіть своїх учнів з’ясувати розмір і простір для більшої кількості пончиків.

1. Скільки кубічних дюймів у коробці для пончиків? (Довжина х ширина х висота)

2. Скільки ящиків вмістити 1000 пончиків? Скільки це кубічних дюймів?

а. 83.33 коробки, 27 000 в3 всього

б. це 30-дюймовий куб пончиків!

3. Якщо 30-дюймовий куб вміщує 1000 пончиків – наскільки великим буде мільйон пончиків?

а Один мільйон пончиків в 1000 разів більше – наш куб повинен бути в 10 разів більше з кожного боку: 300 дюймів або 25 футів в ширину, довгий і високий!

б Це три аудиторії 25 × 25 футів з 8 ½ футових стель – повністю повна підлога до стелі з пончиками!

4. Наскільки великі один мільярд пончиків?

а. в тисячу разів більше! Три тисячі класів, повних пончиків!

5. Наскільки великі один трильйон пончиків?

а. в тисячу разів більше! Три мільйони класів, повних пончиків!

б Три мільйони класів з 25 учнями в кожному становили б 75 мільйонів студентів. Йдеться про кількість студентів у США, Мексиці та Канаді разом!

Будучи астрономом

Що означає мільйон, мільярд і трильйон для астронома? Розглянемо розміри і масштаби Сонячної системи, щоб отримати уявлення. Одним з найважливіших вимірювань астрономів є відстань – наскільки далеко в космосі знаходяться планети, супутники та зірки один від одного?

Тисяча кілометрів. Це хороша шкала для вимірювання супутників, що кружляють планети. Мало супутників завширшки понад 1000 кілометрів; більшість – від 100 до 1000 кілометрів у діаметрі. Наш власний Місяць має ширину близько 3500 кілометрів і є одним з найбільших супутників в нашій Сонячній системі!

Один мільйон кілометрів. Це хороша шкала для вимірювання орбіт супутників, що кружляють навколо планет. Якщо подивитися на всі супутники в нашій Сонячній системі (їх сотні!) , майже всі знаходяться в межах 1 000 000 км від планети, на якій вони орбітають. Наш власний Місяць об’їжджає Землю на середній відстані близько 385 000 км — приблизно третина мільйона кілометрів!

Один мільярд кілометрів. Це хороша шкала для вимірювання відстані від зірки до її планет. Найвіддаленіші великі планети нашої Сонячної системи знаходяться приблизно в трьох мільярдах кілометрів від Сонця. Вплив Сонця поширюється лише на 20 мільярдів кілометрів — далі від цього, гравітація та магнітне поле Сонця взагалі не впливають. Астрономи називають це міжзоряним простором.

Тільки два космічні кораблі «Вояджер» зробили це далеко від Землі. Вони були запущені 40 років тому в 1977 році, обидва зонди зараз знаходяться приблизно в 20 мільярдів км від Землі і віддаляються від нас приблизно на 60 000 км/год. Такими темпами вони досягнуть позначки в один трильйон кілометрів у своїй подорожі приблизно через дві тисячі років!

Трильйон кілометрів. Це хороша шкала для вимірювання відстаней між зірками. Потрібен промінь світла один рік, щоб проїхати шість трильйонів кілометрів — це називається світловим роком. Найближча зірка до нас знаходиться трохи більше чотирьох світлових років, або близько 25 трильйонів кілометрів!

Слідуючи вгору

Шукайте приклади в новині, які використовують терміни мільйон, мільярд або трильйон. Це допоможе, якщо шукати приклади, які говорять про гроші, такі як національний або державний бюджети. Наукові веб-сайти, які мають космічні новини, такі як www.space.com, мають багато історій, які стосуються великої кількості.