Кут між векторами

Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором.

Косинус кута між векторами дорівнює скалярному добутку векторів, поділеному на добуток модулів векторів.

Формула обрахунку кута між векторами

Приклади задач на обрахунок кута між векторами

Приклади обрахунку кута між векторами для плоских задач

Розв’язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Знайдемо модулі векторів:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Знайдемо кут між векторами:

Розв’язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Знайдемо модулі векторів:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Знайдемо кут між векторами:

Приклади обрахунку кута між векторами для просторових задач

Розв’язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Знайдемо модулі векторів:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Знайдемо кут між векторами:

Розв’язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Знайдемо модулі векторів:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Знайдемо кут між векторами:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Як знайти синус, якщо відомий косинус?

Коли дана задача, в якій відома одна тригонометрическая функція, і потрібно знайти іншу тригонометричну функцію, вирішити її нескладно. Але при цьому дуже важливо врахувати маленькі тонкощі в рішенні. Розглянемо докладні рішення, враховуючи нюанси. Є кілька варіантів завдань, в яких потрібно знайти синус, якщо відомий косинус.

Варіант 1. Дан прямокутний трикутник. Відомо значення косинуса кута цього трикутника (не прямої кута). Насті синус.

Згадаймо основне тригонометричну тотожність: sin 2 + cos 2 = 1.

Звідси sin 2 = 1 – cos 2 .

Відео: ЄДІ 2015 База Знайдіть cos , якщо sin = 0,8 і знаходиться в діапазоні від 90 до 180 градусів

У прямокутному трикутнику значення кута (не прямої) може лежати в межах від 1 0 до 89 0 . Синус такого кута завжди позитивний, отже, перед коренем у нас буде плюс.

Варіант 2. Відомо значення косинуса деякого кута. Також відомо, до якої чверті тригонометричного кола належить кут.

sin 2 + cos 2 = 1.

sin 2 = 1 – cos 2 .

Відомо, що тригонометрическая функція синус може приймати значення від -1 до +1. Тому, витягуючи корінь, ми повинні це врахувати. Залежно від того, до якої чверті належить кут, ставимо знак перед коренем «+» або «-».

Які бувають чверті:

• I (перша) – від 0 0 до 90 0 ;
• II (друга) – від 90 0 до 180 0 ;
• III (третя) – від 180 0 до 270 0 ;
• IV (четверта) – від 270 0 до 360 0 .

Якщо кут належить I або II чверті, то перед знаком кореня «-» не ставимо, так як в цьому випадку sin завжди позитивний.

Якщо кут належить III або IV чверті, то перед знаком кореня ставимо «-», так як в цьому випадку sin завжди негативний.

Приклад. Дан косинус, знайти синус. cos = v3 / 2. Кут в четвертій чверті.

Отже, як знайти синус, знаючи косинус:

sin = ± v (1 cos 2 )

Так як за умовою завдання кут належить четвертої чверті тригонометричного кола, перед коренем ставимо знак «-».

Приклад. У прямокутному трикутнику косинус одного кута дорівнює 1/2. Знайдіть синус цього кута.

Рішення: sin 2 + cos 2 = 1.

sin 2 = 1 – cos 2 .

Відео: Відомий косинус кута трикутника, знайти сторону

Так як ми шукаємо кут прямокутного трикутника, перед коренем знак «+».

Як знайти синус, якщо відомий косинус?

Коли дана задача, в якій відома одна тригонометрическая функція, і потрібно знайти іншу тригонометричну функцію, вирішити її нескладно. Але при цьому дуже важливо врахувати маленькі тонкощі в рішенні. Розглянемо докладні рішення, враховуючи нюанси. Є кілька варіантів завдань, в яких потрібно знайти синус, якщо відомий косинус.

Варіант 1. Дан прямокутний трикутник. Відомо значення косинуса кута цього трикутника (не прямої кута). Насті синус.

Згадаймо основне тригонометричну тотожність: sin 2 ? + cos 2 ? = 1.

Звідси sin 2 ? = 1 – cos 2 ?.

sin? = ± v (1- cos 2 ?)

У прямокутному трикутнику значення кута (не прямої) може лежати в межах від 1 0 до 89 0 . Синус такого кута завжди позитивний, отже, перед коренем у нас буде плюс.

Варіант 2. Відомо значення косинуса деякого кута. Також відомо, до якої чверті тригонометричного кола належить кут.

sin 2 ? + cos 2 ? = 1.

sin 2 ? = 1 – cos 2 ?.

sin? = ± v (1- cos 2 ?)

Відомо, що тригонометрическая функція синус може приймати значення від -1 до +1. Тому, витягуючи корінь, ми повинні це врахувати. Залежно від того, до якої чверті належить кут, ставимо знак перед коренем «+» або «-».

Які бувають чверті:

• I (перша) -? від 0 0 до 90 0 ;
• II (друга) -? від 90 0 до 180 0 ;
• III (третій) -? від 180 0 до 270 0 ;
• IV (четверта) -? від 270 0 до 360 0 .

Якщо кут належить I або II чверті, то перед знаком кореня «-» не ставимо, так як в цьому випадку sin? завжди позитивний.

Якщо кут належить III або IV чверті, то перед знаком кореня ставимо «-», так як в цьому випадку sin? завжди негативний.

Приклад. Дан косинус, знайти синус. cos? = V3 / 2. Кут у четвертій чверті.

Отже, як знайти синус, знаючи косинус:

sin? = ± v (1- cos 2 ?)

Оскільки за умовою задачі кут належить четвертій чверті тригонометричного кола, перед коренем ставимо знак «-».

Приклад. У прямокутному трикутнику косинус одного кута дорівнює 1/2. Знайдіть синус цього кута.

Рішення: sin 2 ? + cos 2 ? = 1.

sin 2 ? = 1 – cos 2 ?.

Так як ми шукаємо кут прямокутного трикутника, перед коренем знак «+».