Урок 6. Ділення натуральних чисел. Правила і компоненти дії ділення

Bankchart.com.ua розповідає, що таке ділення, як називаються числа при діленні, які основні властивості та правила ділення, чи можна ділити на 0. Крім того, ви дізнаєтесь, як знайти невідоме ділене та дільник, навчитесь швидко розв’язувати приклади і ділити на одноцифрові, багатоцифрові числа, вивчите таблиці ділення.

Путівник за статтею

1. Що таке ділення?
2. Компоненти дії ділення: ділене, дільник, частка. Знак ділення
3. Особливості ділення3.1 Ділене рівне дільнику3.2 Ділення на 13.3 Ділення 0 на число3.4 Ділення на 0. Чи можна ділити на 0?
4. Закони, правила і властивості ділення4.1 Ділення суми на число4.2 Ділення різниці на число4.3 Ділення числа на добуток4.4 Ділення добутку на число4.5 Множення числа на частку4.6 Ділення числа на частку4.7 Зміна добутку і частки
5. Як знайти ділене
6. Як знайти невідомий дільник
7. Перевірка ділення множенням, діленням
8. Способи швидкого ділення
9. Таблиці ділення9.1 Таблиця ділення на 29.2 Таблиця ділення на 39.3 Таблиця ділення на 49.4 Таблиця ділення на 59.5 Таблиця ділення на 69.6 >Таблиця ділення на 79.7 Таблиця ділення на 89.8 Таблиця ділення на 9

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Що таке ділення?

Ділення – це арифметична дія, яка передбачає розрахунок кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.

Поділити число 700 на 14 означає знайти таке число x, при множенні якого на 14 отримаємо 700. Тобто, ділення є оберненою дією до множення. Адже при множенні є два співмножники і результат множення – добуток, при діленні ми знаходимо один зі співмножників шляхом ділення добутку на другий із співмножників.

Відповідно в буквеному виразі операцію ділення можна відобразити так:

Ділення числа а на число b означає пошук такого числа х, при множенні якого на число b отримаємо число а:

x⋅b = a; x = a : b

Компоненти дії ділення: ділене, дільник, частка. Знак ділення

Як називаються числа при діленні? Число, яке ділять, називається діленим; число, на яке ділять , називається дільником; число, яке утворюється в результаті ділення, називається часткою.

В нашому випадку a – ділене, b – дільник, x – частка.

700 : 14 = 50, тут 700 – ділене, 14 – дільник, 50 – частка.

Знак ділення – двокрапка (:), яка ставиться між діленим та дільником.

Виконати дію ділення натуральних чисел можливо не завжди. Наприклад, число 20 не ділиться на 8, адже нема такого натурального числа при якому 8 ⋅ х дорівнює 20.

Особливості ділення

Ділене рівне дільнику

Якщо ділене дорівнює дільнику, то частка дорівнює одиниці

13 : 13 = 1 або a : a = 1

Ділення на 1

При діленні на 1 частка дорівнює діленому.

8 : 1 = 8 або a : 1 = а

Ділення 0 на число

Частка від ділення нуля на будь-яке число, відмінне від нуля, дорівнює нулю

0 : 17 = 0 або 0 : а = 0

Ділення на 0. Чи можна ділити на 0?

Правило: Ділити на 0 не можна

Чому не можна ділити на нуль? Розглянемо на прикладі 5 : 0 – нема такого числа x, при множенні якого на 0 отримали б результат 5. Адже x ⋅ 0 = 0 і не дорівнює 5. Крім того, не можна нуль ділити на нуль. Цифра 0 ніколи не можу бути дільником.

Закони, правила і властивості ділення

Ділення суми на число

При діленні суми на число достатньо поділити на це число кожний доданок окремо і знайдені частки додати.

Розглянемо дану властивість на прикладі:

(9 + 15) : 3 = 9:3 + 15:3 = 3 + 5 = 8

Ділення різниці на число

При діленні різниці на число достатньо окремо поділити на це число зменшуване і від’ємник, а потім від першої частки відняти другу.

(24 – 9) : 3 = 24:3 – 9:3 = 8 – 3 = 5

Ділення числа на добуток

При діленні числа на добуток достатньо поділити це число на перший множник, після цього знайдену частку треба поділити на другий множник, і знову знайдену частку поділити на третій співмножник і т.д.

Розв’яжемо приклад, використавши властивість ділення на добуток чисел: 560 : (2 ⋅4 ⋅ 7)

Спочатку поділимо 560 : 2 = 280

Після цього частку 280 поділимо на другий множник: 280 : 4 = 70

Ділимо отриману частку на третій співмножник: 70 : 7 = 10

Ділення добутку на число

При діленні добутку на число достатньо поділити на це число один співмножник, залишивши інші без змін.

Розв’яжемо приклад, де можна використати дану властивість. Необхідно поділити добуток чисел 25 ⋅ 16 ⋅10 на число 5

(25 ⋅ 16 ⋅ 10) : 5 = 25 : 5 ⋅ (16 ⋅ 10) = 5 ⋅ 160 = 800

Множення числа на частку

При множенні числа на частку достатньо помножити це число на ділене і знайдений добуток поділити на дільник.

9 ⋅ (100 : 4) = (9 ⋅ 100) : 4 = 900 : 4 = 225

Ділення числа на частку

Щоб поділити число на частку, достатньо поділити це число на ділене і знайдену частку помножити на дільник.

36 : (9 : 3) = (36 : 9) ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12

Зміна добутку і частки

На прикладі дана властивість перевіряється так:

24 ⋅ 3 = 72 – зменшимо добуток і співмножники в 4 рази.

24 : 4 ⋅ 3 = 72 : 4

Приклад: 30 ⋅ 20 = 600, тоді (30 : 6) ⋅ (20 ⋅ 6) = 5 ⋅ 120 = 600

Приклад: 32 : 4 = 8, тоді (32 ⋅ 3) : 4 = 8 ⋅ 3, 96: 4 = 24

330 : 3 = 110, якщо (330 : 10) : 3 = 110 : 10, адже 33 : 3 = 11

81 : 9 =9, тоді 81 : (9 ⋅ 3) = 9 : 3

81 : 9 =9, тоді 81 : (9 : 3) = 9 ⋅ 3

Ця властивість відома як основна властивість частки. Розглянемо основну властивість частки на прикладах:

48 : 24 = (48 ⋅ 2) : (24 ⋅ 2) = 2

48 : 24 = (48 : 2) : (24 : 2) = 2

Як знайти ділене

Правило: Щоб знайти невідоме ділене, треба дільник помножити на частку

Наприклад, x : 6 = 3. Знайдемо невідоме ділене, використавши правило. x = 6 ⋅ 3 = 18

Як знайти невідомий дільник

Правило: Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку

24 : x = 4. Щоб знайти x треба: 24 : 4 = 6.

Перевірка ділення множенням, діленням

Як і будь-яку іншу арифметичну дію, ділення можна перевірити. Ділення перевіряється множенням та діленням.

Перевірка множенням. Оскільки ділене є добутком, а дільник і частка – множниками, для перевірки правильності ділення необхідно помножити дільник на частку. Дія ділення вважається виконаною правильно, якщо в результаті отримаємо ділене.

Перевірка діленням. Для перевірки правильності ділення можна ділене поділити на частку. Якщо в результаті отримаємо дільник, то дія виконана правильно.

Способи швидкого ділення

Щоб поділити число на 5, достатньо помножити його на 2 і поділити на 10

Щоб поділити число на 25, достатньо помножити його на 4 і поділити на 100

Щоб поділити число на 125, достатньо помножити його на 8 і поділити на 1000

485 : 5 = 97 оскільки 485 ⋅ 2 : 10 = 97

1575 : 25 = 63 оскільки 1575 ⋅ 4 : 100 = 63

Використання властивостей ділення

42 ⋅ 24 : 4 = 42 ⋅ (24 : 4) = 42 ⋅ 6 = 252

28 ⋅ 125 : 14 = (28 : 14) ⋅ 125 = 2 ⋅ 125 = 250

1. Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа

Є \(48\) цукерок «Чебурашка» і \(36\) цукерок «Ластівка». Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з цих цукерок?

Знайдемо всі дільники числа \(48\) і числа \(36\).
Для числа \(48\) це: \(1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\).
Для числа \(36\) це: \(1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\).
Спільними дільниками цих чисел будуть числа: \(1; 2; 3; 4; 6; 12\).
Найбільшим є число \(12\).

Найбільше натуральне число, на яке діляться без остачі числа \(m\) і \(n\), називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

1. Розкласти дані числа на прості множники і записати їх, використовуючи поняття степеня.
2. Виписати всі прості числа, які одночасно входять у кожен з отриманих розкладів.
3. Кожне з виписаних простих чисел взяти з найменшим із показників степеня, з якими воно входить до розкладання даних чисел.
4. Записати добуток отриманих степенів.

48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 4 ⋅ 3 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 2 ⋅ 3 2 НСД ( 48 ; 36 ) = 2 2 ⋅ 3 = 12

Розклавши на прості множники кожне з цих чисел і записавши їх , використовуючи поняття степеня , отримаємо:

Отже, у даних чисел немає інших спільних множників, крім \(1\), тобто число \(1\) — єдиний спільний дільник даних чисел.
\(НСД (20; 27) = 1\).