§ 15. Траєкторія. Шлях. Переміщення

1. Як уже зазначалося, при вивченні руху тіла важливо знати, як змінюється його положення (координати) з часом.

Деякі тіла під час руху залишають за собою видимий слід. Це, наприклад, слід лижника, що біжить по свіжому снігу (рис. 32), слід метеора, що пролетів по небі (рис. 33), слід кінчика олівця, що рухається по чистому аркуші паперу (рис. 34). Такий слід, точніше, лінію, вздовж якої рухається тіло, називають траєкторією руху. Залежно від форми траєкторії, рухи поділяють на прямолінійні та криволінійні. Очевидно, що у більшості випадків траєкторію побачити неможливо.

Рис. 32

Рис. 33

Траєкторія відносна, її форма залежить від вибору системи відліку, відносно якої розглядається рух. Так, відносно системи відліку, пов’язаної з віссю колеса велосипеда (К’), що рухається вздовж прямолінійної ділянки дороги, будь-яка точка ободу його колеса описує коло, а відносно системи відліку, пов’язаної із Землею (К) — складнішу лінію (циклоїду) (рис. 35).

Рис. 34

Рис. 35

2. Знаючи траєкторію руху матеріальної точки, можна визначити пройдений нею шлях. Для цього потрібно виміряти довжину ділянки траєкторії між початковим та кінцевим її положеннями. Такі вимірювання можна здійснити за допомогою лінійки, мірної стрічки тощо. Шлях, пройдений автомобілем упродовж деякого інтервалу часу, зазвичай визначають як різницю кінцевого і початкового показів спеціального лічильника, встановленого на спідометрі (рис. 39). Отже, пройдений шлях — це довжина ділянки траєкторії, описаної матеріальною точкою або тілом упродовж певного інтервалу часу (див. рис. 31).

Пройдений шлях, або просто шлях, — це фізична величина, її прийнято позначати латинською літерою l. Шлях з плином часу може тільки збільшуватися або залишатися величиною сталою, якщо тіло перебуває у спокої. Певного напряму у просторі шлях не має. Такі фізичні величини, які характеризуються лише числовим значенням або величиною і певного напряму у просторі не мають, називаються скалярними величинами або просто скалярами. Отже, шлях — скаляр.

Для вимірювання пройденого шляху служить основна одиниця довжини — метр (1 м). На практиці використовують й інші одиниці шляху: кілометр (1 км = 1000 м = 10 3 м), сантиметр (1 см = 0,01 м = 10 -2 м), міліметр (1 мм = 0,1 см = 10 -3 м).

3. Якщо відомо початкове положення тіла, то для визначення його наступного положення знати тільки пройдений ним шлях недостатньо. Якщо, наприклад, автомобіль за годину проїхав l = 100 км, то встановити, де він буде через годину лише за цими даними неможливо, адже автомобіль міг рухатися на північ, південь, схід, захід тощо (рис. 36). Для цього потрібно знати ще й напрям руху: з’єднати початкове і кінцеве положення тіла прямою лінією і стрілкою вказати напрям його руху (див. рис. 31).

Рис. 36

У зв’язку з цим уводять нову фізичну величину — переміщення тіла. Переміщення — величина векторна. Векторні величини, крім числового значення, мають ще й певний напрям у просторі. Їх позначають відповідними буквами зі стрілкою зверху.

його числове значення або довжину. Переміщення вимірюють у тих самих одиницях, що й шлях. Переміщення не єдина векторна фізична величина. З іншими векторними величинами ви ознайомитеся при подальшому вивченні фізики.

Отже, переміщення матеріальної точки (або тіла) — це вектор, що сполучає її (його) початкове положення з наступним (див. рис. 31).

Запитання для самоперевірки

• 1. Що називають траєкторією руху?
• 2. Чи можна побачити траєкторію руху трамвая, тролейбуса, корабля, літака?
• 3. Яку фізичну величину називають шляхом?
• 4. Яку фізичну величину називають переміщенням?
• 5. Які одиниці шляху та переміщення?
• 6. Чим відрізняються векторні фізичні величини від скалярних?

Завдання 8

• 1. Чи залежить форма траєкторії руху тіла від вибору системи відліку?
• 2. Чи може шлях, пройдений тілом, з плином часу зменшуватися, збільшуватися, не змінюватися? Наведіть приклади.
• 3. М’яч кинули під кутом до горизонту, після чого він упав на Землю. Як практично виміряти його переміщення?
• 4. Автомобіль виїхав з гаража і після розвезення пошти повернувся назад. Чому дорівнює переміщення автомобіля? Як практично шофер може визначити пройдений автомобілем шлях?
• 5*. Чи справджується рівність s = l, де s — переміщення тіла, l — шлях? Відповідь обґрунтувати, навести приклади.

§ 8. Шлях. Переміщення

ШЛЯХ І ПЕРЕМІЩЕННЯ. Траєкторія тіла характеризується не лише формою, а й довжиною. Довжину траєкторії, яку проходить тіло за час руху, називають пройденим шляхом.

Шлях — фізична величина, що дорівнює довжині траєкторії, яку описує тіло за час руху.

Шлях позначають малою латинською літерою l*, одиницею шляху в СІ є метр (1 м).

* У науковій і навчальній літературі шлях інколи позначають малою латинською літерою s.

На практиці застосовують також інші одиниці шляху:

1 см = 0,01 м = 10 мм;

1 дм = 10 см = 100 мм;

Якщо відомо, де розташоване тіло на початку руху, його траєкторію і пройдений шлях, то можна визначити, де буде тіло в кінці руху. Коли траєкторія руху невідома і не важливо, якою саме траєкторією рухається тіло, а треба вміти визначити зміну положення тіла у просторі з плином часу, тоді користуються поняттям переміщення. Для цього сполучають відрізком прямої початок руху тіла з його положенням у певний момент часу. Тоді зміну положення тіла в цьому напрямі називають переміщенням.

Переміщення — фізична величина, що характеризує зміну положення тіла у просторі та визначається напрямленим відрізком, який сполучає положення рухомого тіла на початку і в кінці певного інтервалу часу.

ПРИКЛАД. Щоб дістатись із Києва до Донецька автомобілем, водію доводиться їхати звивистою дорогою (червона лінія на малюнку 41). Пройдений при цьому шлях — це довжина дороги l (траєкторії).

Мал. 41. Траєкторія, шлях, переміщення

Разом з тим, водій здійснив переміщення із точки А в точку В, яке можна показати, з’єднавши початкове і кінцеве положення тіла в просторі прямою лінією і позначивши напрям руху (зелена лінія на мал. 43). Щоб визначити положення тіла в будь-який момент часу, досить знати його положення у початковий момент і переміщення. Переміщення є прикладом векторної фізичної величини.

СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ВЕЛИЧИНИ. Вивчаючи математику і фізику, до цих пір ви стикалися з величинами, які характеризуються лише числовим значенням: шлях, площа, довжина, об’єм, час тощо. Такі величини називають скалярними.

Скалярна величина, або скаляр (від лат. scalaris — ступінчастий), у фізиці — величина, кожне значення якої може бути виражене одним дійсним числом.

Скалярні величини, зазвичай, як в алгебрі, позначають малими і великими латинськими літерами: l, t, V.

Багато фізичних величин, подібно до переміщення, окрім свого числового значення, ще вказують її напрям у просторі. Переміщення, а також швидкість, сила — величини векторні.

Векторна величина, або вектор (від лат. vector — несучий, перевізник), у фізиці — величина, яка, окрім числового значення, має ще й напрям.

У позначеннях векторних величин до латинських літер додають над ними стрілочку. Значення довжини вектора ще називають модулем вектора та позначають літерою без стрілочки.

Вектор графічно зображають напрямленим відрізком (стрілкою), довжина якого пропорційна його числовому значенню — модулю. Перед побудовою вектора обирають одиницю довжини в певному масштабі, а потім відкладають потрібну кількість одиниць. Так, на малюнку 42 зображено вектор завдовжки 9 см.

Мал. 42. Графічне зображення вектора; одна поділка дорівнює 1 см

Задавши напрямлений відрізок, ми задаємо відразу три характеристики вектора: числове значення, напрям і точку прикладання. Такі ж три характеристики має і кожна векторна фізична величина. Вектори, що мають однакові довжину і напрям, є рівними. Залежно від досліджуваного випадку, точку прикладання вектора жорстко задано, а інколи її можна зміщувати вздовж вектора.

Одиницею переміщення є метр (1 м).

Тепер можна дати ще одне визначення переміщення:

Шлях і переміщення є характеристиками руху тіла, вони мають однакові одиниці, але це різні фізичні величини. Якщо траєкторія криволінійна, модуль переміщення менший від пройденого тілом шляху, бо відрізок прямої коротший за будь-яку криву, що з’єднує кінці відрізка. У разі прямолінійного руху, за умови, що тіло не змінювало напрям руху, модуль переміщення і шлях дорівнюють одне одному. Якщо тіло повертається у вихідне положення (наприклад, воно зробило повний оберт по колу), то початкове та кінцеве положення тіла співпадають і модуль переміщення дорівнює нулю. Якщо, наприклад, тіло здійснило два повних оберти, то пройдений шлях дорівнюватиме двом довжинам кола, а переміщення — нулю. Тобто переміщення може дорівнювати нулю навіть тоді, коли тіло рухалося.

ПІДБИВАЄМО ПІДСУМКИ

Зміну положення тіла можна визначити за пройденим шляхом по певній траєкторії або за переміщенням. Шлях — величина скалярна, переміщення — векторна.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

Дайте відповідь на запитання

• 1. Що таке шлях? Як його позначають і яка його одиниця?
• 2. Що таке переміщення? Як його позначають і яка його одиниця?
• 3. Які величини називають скалярними, а які — векторними?

Поясніть

1. У яких випадках застосовують фізичну величину — переміщення?

2. Що спільного і що відмінного між пройденим шляхом і переміщенням тіла? Наведіть приклади.

3. У якому з випадків шлях дорівнює модулю переміщення тіла?

• А. Яблуко відірвалось з гілки і падає на землю
• Б. М’яч після подачі волейболіста перелітає через сітку
• В. Супутник здійснив оберт навколо Землі

Вправа 4

1. Тіло здійснює рух уздовж сторін квадрата, сторона якого 20 см. Визначте шлях і переміщення тіла, якщо: а) тіло пройшло вздовж однієї сторони; б) двох сторін; в) трьох сторін; г) чотирьох сторін.

2. На малюнку 43 зображено траєкторію руху тіла, що почало рухатись із точки А. Визначте: а) координату початкового положення тіла; б) координату кінцевого положення тіла; в) зміну координати внаслідок руху тіла; г) шлях, пройдений тілом; д) модуль і напрямок переміщення тіла.

Мал. 43

3. Спортсмен відбив м’яч вертикально вгору, коли той перебував на відстані 0,5 м від підлоги, а спіймав його на висоті 1,9 м. Який шлях і яке переміщення м’яча, якщо під час польоту він піднімався на максимальну висоту 3 м?

4. Тіло перемістилося з точки, координати якої х₁ = 0 м, у₁ = 2 м, у точку з координатами х₂ = 4 м, у₂ = -1 м. Зробіть побудову на координатній площині та визначте модуль переміщення.

ФІЗИКА НАВКОЛО НАС

Дорожнє колесо — це, мабуть, одне з перших вимірювальних пристосувань, відомих людству. Важко сказати, коли саме для вимірювання відстані стали застосовувати дорожнє колесо, однак і сьогодні, незважаючи на розвиток сучасних технологій, дорожнє колесо продовжує користуватися великим попитом (мал. 44).

Мал. 44. Дорожнє колесо

Діаметр колеса дорівнює 31,83 см, тоді, здійснивши один оберт, дорожнє колесо проходить шлях 1 м.

Дорожні колеса застосовуються для вимірювання відстаней у таких місцях, де традиційні вимірювальні прилади не справляються зі своїм завданням. Якщо використання звичайних мірних стрічок, далекомірів або рулеток неможливе з тих чи інших причин, на допомогу приходять дорожні вимірювальні колеса, як їх ще називають, дорожні курвіметри.

Курвіметр (від лат. curvus — кривий і грец. метрон — міра, вимірювач) — прилад для вимірювання довжини кривих ліній на планах і картах (мал. 45).

Мал. 45. Курвіметр

Знизу курвіметра міститься зубчате коліщатко, яким прокочують по лінії, тримаючи прилад перпендикулярно до площини карти. Обертання коліщатка передається через зубчасту передачу лічильному механізмові, що показує виміряну довжину дуги. Далі, користуючись масштабом карти, визначають пройдену відстань.

Подивіться на малюнок 46. Що він вам нагадує? Так, такий вигляд мала перша комп’ютерна миша, її винахідником став у 1964 р. Дуглас Карл Енгельбарт.

Мал. 46. «Нащадок» курвіметра — комп’ютерна миша, праворуч — її винахідник