Коли застосовується Бернуллі

У ряді найважливіших додатків теорії ймовірностей розглядають наступну схему: деякий дослід повторюється без змін [TEX]n[/TEX]-разів. В результаті повторення цього досліду [TEX]n[/TEX] разів випадкова подія [TEX]A[/TEX], що цікавить нас, може як відбутися в кожному окремому випадку, так і не відбутися. Ймовірність цієї випадкової події в кожному окремому випадку дорівнює [TEX]p[/TEX] і не залежить від попередніх наслідків, тобто, у цьому випадку кажуть, що випробування незалежні. Нас же буде цікавити не результат кожного окремого досліду, а число [TEX]m[/TEX] – скільки разів випадкова подія [TEX]A[/TEX] мала місце в серії [TEX]n[/TEX] проведених дослідів: [TEX]\left( m \right) – ?[/TEX]

Означення 24 Якщо усі [TEX]n[/TEX] випробувань проводити в однакових умовах і ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або непояви події [TEX]A[/TEX] в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі .

Формула Бернуллі

Нехай випадкова подія [TEX]A[/TEX] може з’явитися у кожному випробуванні з ймовірністю [TEX]P\left( A \right) = p[/TEX] або не з’явитись з ймовірністю [TEX]q = P\left( \right) = 1 – p[/TEX].

Скористуємося поняттям складної події, яка складається з сукупності простих [TEX][/TEX] подій, де під [TEX][/TEX] простою подією будемо розуміти випадкову подію [TEX]A[/TEX], яка мала місце при [TEX]i[/TEX]-випробуванні, а [TEX][/TEX] – коли при [TEX]i[/TEX]-випробуванні подія [TEX]A[/TEX] не відбулася.

Припустимо, що проведено [TEX]n[/TEX] дослідів. Розглянемо можливі варіанти:

1. Подія не відбулася жодного разу.

[TEX] = \cdot \cdot . \cdot [/TEX], [TEX]P\left( <> \right) = P\left( _1>> \right) \cdot P\left( _2>> \right) \cdot . \cdot P\left( _n>> \right) = <\left( <1 - p>\right)^n> = [/TEX]

2. Подія відбулася 1 раз.

3. Припустимо, що на деякому [TEX]m[/TEX] – етапі ми шукаємо [TEX][/TEX] складну подію (подія [TEX]A[/TEX] відбулась [TEX]m[/TEX] разів)

[TEX] = \underbrace \cdot \cdot . \cdot >_m \cdot \underbrace _>. \cdot _> \cdot _n>>_ + . + \underbrace _1> \cdot _2> \cdot . >_ \cdot \underbrace < \cdot . \cdot >_m[/TEX]

Коли подія [TEX]A[/TEX] з’являється [TEX]m[/TEX] разів у [TEX]n[/TEX] випробуваннях, таких доданків буде [TEX]C_n^m = \frac> <\right)!>>[/TEX]. Обчислимо ймовірність одного з доданків, н-д, першого.

Ймовірність сумісної появи [TEX]n[/TEX] незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій згідно з теоремою множення ймовірностей, тобто, [TEX]P\left( <\underbrace <\cdot \cdot . \cdot >_m \cdot \underbrace _>. \cdot _> \cdot _n>>_> \right) = P\left( <\underbrace <\cdot \cdot . \cdot >_m> \right) \cdot P\left( <\underbrace _>. \cdot _> \cdot _n>>_> \right) = [/TEX]Кількість таких складних подій [TEX]C_n^m[/TEX] і вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

• (1) [TEX]\left( m \right) = C_n^m>[/TEX]

Формулу для знаходження такої ймовірності винайшов Бернуллі, тому вона і має назву формула Бернуллі . Вона дозволяє знаходити ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] [TEX]m[/TEX] разів при [TEX]n[/TEX] випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Біноміальний розподіл

Проаналізуємо отримані результати.

[TEX]P\left( > \right) = P\left( 0 \right) = [/TEX]

[TEX]P\left( > \right) = P\left( 1 \right) = np>[/TEX]

[TEX]P\left( > \right) = P\left( 2 \right) = C_n^2>[/TEX]

[TEX]P\left( > \right) = P\left( m \right) = C_n^m>[/TEX]

Очевидно, ці результати можна отримати, якщо піднести до степеня [TEX] <\left(

\right)^n>[/TEX]. Тому отримані результати називають біноміальним розподілом ймовірностей.

Поява події A хоча б один раз. Ймовірність появи події A не менше m1 і не більше m2 разів. Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі

Якщо [TEX],\,\,,\,\. [/TEX] вичерпують усі можливі наслідки, то очевидно, їхня сума буде достовірною подією: [TEX]\sum\limits_^n = \Omega > [/TEX], а ймовірність [TEX]P\left( <\sum\limits_^n > > \right) = 1[/TEX]

Ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] в [TEX]n[/TEX] випробуваннях менш [TEX]m[/TEX] разів знаходять за формулою [TEX]\left( \right) = \left( 0 \right) + \left( 1 \right) + . + \left( \right)[/TEX].

Ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] в [TEX]n[/TEX] випробуваннях не менше [TEX]m[/TEX] разів можна знайти за формулою [TEX]\left( \right) = \left( m \right) + \left( \right) + . + \left( n \right)[/TEX] або за формулою [TEX]\left( \right) = 1 – \sum\limits_^ <\left( k \right)> [/TEX]

Поява події [TEX]A[/TEX] хоча б один раз

Див. попереднє: [TEX]\left( \right) = 1 – P\left( > \right) = 1 – [/TEX]

Ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] не менше [TEX][/TEX] і не більше [TEX][/TEX] разів

У багатьох випадках треба знаходити найбільш ймовірне значення [TEX][/TEX] числа [TEX]m[/TEX] появ події [TEX]A[/TEX]. Це значення [TEX]m[/TEX] визначається співвідношенням

• (4) [TEX]np – q \le \le np + p[/TEX]
• або [TEX]\left( \right)p – 1 \le \le \left( \right)p[/TEX]. Його можна отримати, скористувавшись властивостями коефіцієнтів бінома Ньютона і отриманою формулою Бернуллі.

Число [TEX][/TEX] повинно бути цілим. Якщо [TEX]\left( \right)p[/TEX] – ціле число тоді найбільше значення ймовірність має при двох числах [TEX] = \left( \right)p – 1[/TEX] та [TEX] = \left( \right)p[/TEX].

Якщо ймовірність появи події [TEX]A[/TEX] в кожному випробуванні дорівнює [TEX]p[/TEX], то кількість [TEX]n[/TEX] випробувань, які необхідно здійснити, щоб з ймовірністю [TEX]P[/TEX] можна було стверджувати, що подія [TEX]A[/TEX] з’явиться хоча б один раз, знаходять за формулою

Якщо в системі координат вісь абсцис позначити [TEX]m[/TEX], а вісь ординат [TEX]\left( m \right)[/TEX], то відклавши в ній точки і послідовно з’єднавши, отримаємо многокутник ймовірностей

1)Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для даного стрільця дорівнює [TEX]0,8[/TEX] і не залежить від номера пострілу.

a)Треба знайти ймовірність того, що при [TEX]5[/TEX] пострілах відбудеться рівно два влучення.

b)Знайти найбільш ймовірне число влучень при [TEX]5[/TEX] пострілах.

a)Знайти найбільш ймовірне число появи герба при киданнях монети.

b)Знайти ймовірність того, що герб випаде від [TEX]12[/TEX] до [TEX]14[/TEX] разів.

c)Знайти ймовірність того, що герб випаде хоча б один раз.

3)Побудувати многокутник ймовірностей для випадку [TEX]n = 4[/TEX], коли [TEX]p = \frac[/TEX] і зберігається в кожному випробуванні.

1)[TEX]p = 0,8[/TEX]

[TEX]5 \cdot 0,8 – 0,2 \le \le 5 \cdot 0,8 + 0,8[/TEX]

Ймовірність того, що при [TEX]5[/TEX] пострілах відбудеться [TEX]4[/TEX] влучення [TEX]\left( 4 \right) = C_5^4 \cdot \cdot = \frac> <<4!\left( <5 - 4>\right)!>> \cdot \cdot = \frac \cdot 0,4096 \cdot 0,2 \approx 0,4[/TEX]

2)[TEX]n = 25[/TEX], [TEX]p = 0,5[/TEX]

[TEX]25 \cdot 0,5 – 0,5 \le \le 25 \cdot 0,5 + 0,5[/TEX]

[TEX]12 \le \le 13[/TEX]

[TEX] = 12[/TEX] та [TEX] = 13[/TEX]

Коли застосовується Бернуллі

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25

Рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини

Рівня́ння Берну́ллі (рос. уравнение Бернулли; англ. Bernoulli’s theorem; нім. Bernulligleichung) — рівняння гідроаеромеханіки, яке визначає зв’язок між швидкістю [math]v[/math] рідини, тиском [math]p[/math] в ній та висотою [math]h[/math] частинок над площиною відліку. Рівняння Бернуллі виражає закон збереження енергії рухомої рідини. Застосовується в гідравліці і гідродинаміці. Виведене Данилом Бернуллі в 1738 р.

Зміст

Історична довідка

Данило Бернуллі народився 8 лютого 1700 у Гронінгені. Закінчив Базельську гімназію, за настановою батька вивчав медицину. Вчився в Гейдельберзі и Страсбурзі. В 1724 вийшов перший трактат Бернуллі по математиці. З 1725 по 1732 працював в Санкт-Петербурзькій академії наук – спочатку займався фізіологією, потім очолював кафедру математики. В l733 повернувся в Базель, де був професором анатомії і ботаніки, а потім філософії і фізики (з 1750). Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. В 1738 опублікував свою знамениту роботу «Гідродинаміка, або Записки про сили і рухи в рідинах» («Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii»), у якій сформулював основи механіки рідини. У цьому творі Бернуллі вперше ввів поняття роботи і коефіцієнта корисної дії, записав рівняння стаціонарного руху ідеальної рідини (рівняння Бернуллі), виклав ідеї кінетичної теорії газів. Значний вклад вніс в математику. Займався розробкою чисельних вирішень алгебраїчних рівнянь, теорією рядів, теорією ймовірностей, дав спосіб вирішення ймовірнісних задач методами математичного аналізу. Був лауреатом почесних премій Паризької академії наук. Був членом Берлінської, Лондонської, Паризької, Санкт-Петербурзької академій наук. Рівняння Д.Бернуллі, отримане в 1738 р., є фундаментальним рівнянням гідродинаміки. Воно дає зв’язок між тиском [math]p[/math] , середньою швидкістю [math]v[/math] і п’єзометричного висотою [math]z[/math] в різних перерізах потоку і виражає закон збереження енергії рідини, що рухається. З допомогою цього рівняння вирішується велике коло завдань.

Основні поняття

Всі реальні рідини у тій чи іншій мірі стискаються, тобто під дією зовнішнього тиску зменшують свій об’єм. Стисливість – це здатність рідини змінювати свій об’єм при зміні тиску.

Елементарною струминкою називається частина рідини, укладена всередині трубки струму. Елементарна струминка характеризує стан руху рідини в даний момент часу t(див.рис.1.).

При усталеному русі елементарна струминка має такі властивості: 1. форма і положення елементарної струминки з плином часу залишаються незмінними, тому що не змінюються лінії струму; 2. приплив рідини в елементарну струминку і відтік з неї через бічну поверхню неможливий, тому що по контуру елементарної струминки швидкості спрямовані по дотичній; 3. швидкість і гідродинамічний тиск у всіх точках поперечного перерізу елементарної струминки можна вважати однаковим зважаючи малості площі.

Реальна рідина – модель природної рідини, що характеризується ізотропністю всіх фізичних властивостей, але на відміну від ідеальної моделі, володіє внутрішнім тертям при русі.

При вивченні руху реальної (в’язкої рідини) можна піти двома різними шляхами: скористатися готовими диференціальними рівняннями і їхніми рішеннями, отриманими для ідеальної рідини. Облік прояви в’язких властивостей здійснюється за допомогою введення в рівняння додаткових поправочних членів рівняння, вивести нові рівняння для в’язкої рідини. Для практичної інженерної діяльності більш прийнятним слід вважати перший напівемпіричний шлях, другий слід використовувати лише в тих випадках, коли потрібно детальне вивчення процесу руху в’язкої рідини.

Виведення рівняння Бернуллі для елементарної струминки в’язкої рідини

Для виведення рівняння Бернуллі стосовно елементарної цівки в’язкої рідини розглянемо його енергетичний сенс. З цією метою підрахуємо механічну енергію нескінченно малої частки масою dm з центром у т. А, що знаходиться в межах елементарної цівки, щодо горизонтальної площини порівняння О1 – О1.

Як відомо, потенціальна енергія дорівнює:

Повна механічна енергія складається з суми кінетичної і потенціальної енергій:

Віднесемо енергію до одиниці ваги рідини, тобто визначимо питому енергію

Таким чином отримаємо вираз, який є рівнянням Бернуллі і виражає закон збереження енергії: вздовж елементарної цівки ідеальної рідини сума потенціальної і кінетичної енергії постійна величина, тобто:

Сума [math]z+\frac

[/math] являє собою потенціальну енергію, що складається з питомої енергії положення [math]z[/math] і питомої енергії тиску [math]\frac

[/math] . Вираз [math]\frac>[/math] називається питомою кінетичної енергією.

Вздовж елементарної струминки питомі кінетична і потенціальна енергії можуть змінюватися, але їхня сума залишається постійною.

При русі в’язкої рідини сумарна питома енергія рідини, яка рухається вздовж струминки, зменшується в силу різних гідравлічних опорів. Отже, для елементарної цівки в’язкої рідини, що знаходиться в сталому русі:

Щоб отримати рівність лівої і правої частини, необхідно в правій частині додати додатковий член [math]h_[/math] , що позначає витрату питомої енергії на подолання опорів при русі реальної в’язкої рідини в межах між першим і другим перерізами.

Рис.3. Геометрична інтерпретація рівнянь Бернуллі для елементарної струминки в’язкої рідини

Як відомо реальна рідина відрізняється від ідеальної наявністю в’язкості, тобто між окремими шарами рідини при русі існує тертя. Так як існує тертя, то повинні з’явитися і втрати енергії. Тобто частина енергії реальної рідини, що рухається переходить в тепло. Відбувається так звана дисипація (див.рис.3). Причому цей перехід енергії є незворотним. У зв’язку з цим [math]h_[/math] можна вважати втраченою питомою енергією.

Кінцевий вигляд рівняння

Отже, виходячи з вище сказаного кінцевий вигляд рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини має вигляд:

де [math]z_[/math] і [math]z_[/math] – питомі енергії положення, що характеризують потенційну енергію в перерізах 1-1 і 2-2;

[math]\frac>[/math] і [math]\frac>[/math] – питомі енергії тиску, що характеризують потенційну енергію тиску в тих же перерізах;

[math]\frac^>[/math] і [math]\frac[/math] – питомі кінетичні енергії у тих же перерізах;

[math]h_[/math] – втрати питомої енергії.

Умови застосування рівняння Бернуллі

1. Рух, що встановився; з масових сил діє тільки сила тяжіння.

2. Перетини беруться тільки там, де потік паралельнострумчастий або плавно змінюється. При цьому зовсім не обов’язково, щоб потік на всій ділянці між розглянутими перерізами був близьким до паралельнострумчастого.

3. Для стисливої рідини рух має відбуватися при постійному тиску і температурі без розривів струменів і утворень пустот. Перерізи потоку плоскі і перпендикулярні векторам швидкості.