Квадрат. Формули та властивості квадрата

Квадрат – це чотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.

1. Всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола

9. Кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Діагональ квадрата

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.

Діагональ будь-якого квадрату завжди більша за його сторону в √ 2 раз.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

Периметр квадрата

Периметром квадрата називається сума довжин всіх сторін квадрату.

Формули визначення довжини периметра квадрата

Площа квадрата

Площею квадрата називається простір який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.

Площа квадрата більша площі будь-якого чотирикутника з таким же периметром.

Формули площі квадрата

Коло, описане навколо квадрата

Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрату.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола в √ 2 разів.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.

Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того же квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

1. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через периметр квадрата:
3. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через площу квадрата:
4. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діагональ квадрата:
5. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діаметр описаного кола:
6. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через радіус вписаного кола:
7. формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через довжину відрізка l :

Коло, вписане в квадрат

Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в 4/π рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

1. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діагональ квадрата:
3. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через периметр квадрата:
4. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через площу квадрата:
5. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через радіус описаного кола:
6. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр описаного кола:
7 формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через довжину відрізка l :

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Квадрат. Формули та властивості квадрата

Квадрат – це чотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.

1. Всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола

9. Кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Діагональ квадрата

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.

Діагональ будь-якого квадрату завжди більша за його сторону в √ 2 раз.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

Периметр квадрата

Периметром квадрата називається сума довжин всіх сторін квадрату.

Формули визначення довжини периметра квадрата

Площа квадрата

Площею квадрата називається простір який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.

Площа квадрата більша площі будь-якого чотирикутника з таким же периметром.

Формули площі квадрата

Коло, описане навколо квадрата

Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрату.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола в √ 2 разів.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.

Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того же квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

1. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через периметр квадрата:
3. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через площу квадрата:
4. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діагональ квадрата:
5. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діаметр описаного кола:
6. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через радіус вписаного кола:
7. формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через довжину відрізка l :

Коло, вписане в квадрат

Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в 4/π рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

1. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через сторону квадрата:
2. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діагональ квадрата:
3. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через периметр квадрата:
4. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через площу квадрата:
5. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через радіус описаного кола:
6. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр описаного кола:
7 формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через довжину відрізка l :

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Площа квадрата

Під час уроків математики школярі непросто вирішують приклади з алгоритму. Діти вчаться аналізувати, розвивають просторове мислення, знайомляться з різними способами вирішення завдань. У цьому їм допомагають теми за основними геометричними поняттями та просторовими величинами.

Одна з таких тем – площа квадрата. Школярі вивчають її за принципом від простого до складного: спочатку досліджують базові поняття, потім вчаться вирішувати завдання і використовувати різні змінні. Тема неодноразово зустрічається у шкільних підручниках.

1. Що таке площа квадрата
2. Корисна інформація про площу квадрата
3. Формули площі квадрата
4. Через довжину сторони
5. Через довжину діагоналі
6. Через радіус вписаного кола
7. Через радіус описаного кола
8. Через периметр
9. Завдання на перебування площі квадрата із рішенням
10. Завдання 1
11. Завдання 2
12. Знаходження площі квадрата: формула і приклади
13. Формула обчислення площі
14. Приклади завдань
15. Відео – як знайти площу квадрата

Що таке площа квадрата

Площа квадрата – це величина, яка показує, скільки місця у просторі займає геометрична фігура. Для позначення сторін квадрата можуть використовуватись цілі числа, дроби та різні одиниці виміру.

Корисна інформація про площу квадрата

Формули площі квадрата

Площу квадрата можна розрахувати у різний спосіб, залежно від цього, які вихідні дані є у задачі. У школах вивчають п’ять основних формул. Розберемо їх докладніше.

Через довжину сторони

Найпоширеніша формула – розрахунок через довжину сторони. Завдяки своїй простоті завдання за цим алгоритмом підходять для молодших класів.

Рішення будуються у тому, що квадрат — це різновид прямокутника. Значить, їх площі розраховується однаково: необхідно перемножити дві суміжні сторони. Так як у квадрата вони рівні один одному, можна звести сторону на другий ступінь.

Якщо площа квадрата S, а його сторона, формула виглядає так:

Через довжину діагоналі

Буває, що завдання немає даних про сторони квадрата, зате відома його діагональ. Ця лінія поєднує протилежні кути фігури.

Щоб розрахувати площу, необхідно звести діагональ квадрат, а потім розділити на 2.

Позначимо діагональ d, і вийде така формула:

Через радіус вписаного кола

Якщо за умовою завдання всередину квадрата вписано коло, можна розрахувати площу за допомогою її радіусу. Для цього необхідно звести радіус у квадрат і додатково помножити результат, що вийшов на 4.

У формулі радіус вписаного кола позначається малою латинською літерою r:

Через радіус описаного кола

Якщо описати навколо квадратної фігури коло та розрахувати її радіус, це допоможе обчислити площу квадрата. Спочатку довжину радіуса необхідно звести на другий ступінь. Потім подвоїти отримане число.

Для формули радіус описаного кола запишемо літерою R:

Через периметр

Периметр квадрата – це сума всіх його сторін. Він допомагає обчислити площу фігури, навіть якщо завдання більше немає інших даних.

Порядок дій при вирішенні може бути різним. Один спосіб: звести периметр на другий ступінь, а потім розділити отримане число на 16.

Якщо цей спосіб здається громіздким та важким для запам’ятовування, можна піти другим шляхом. Необхідно розділити периметр на 4. Отримане число — одна сторона квадрата. Далі використовуємо найпростішу формулу: зводимо довжину на другий ступінь.

Завдання на перебування площі квадрата із рішенням

Застосуємо практично кілька формул, щоб розрахувати площу квадрата.

Завдання 1

Трибуна для вболівальників має форму квадрата. Довжина сторони дорівнює 50 м. Розрахуйте площу, яку займає трибуна на стадіоні.

Дано:
а = 50 м

Знайти: S

Рішення : оскільки сторони трибуни відомі, перемножимо дві сторони між собою.

Відповідь : трибуна займає 250 м²

Завдання 2

Будівельна бригада має відремонтувати квадратну кімнату. Відомо, що відстань між протилежними кутами приміщення становить 6 м. Розрахуйте площу кімнати.

Дано :

Знайти : S

Рішення : використовуємо формулу розрахунку площі за допомогою діагоналі, тому що нам відомий лише цей показник.

Відповідь : площа кімнати складає 18 м²

Знаходження площі квадрата: формула і приклади

Формула обчислення площі

1. По довжині боку:

Площа квадрата (S) дорівнює квадрату довжини його сторони:

S = a 2

Дана формула випливає з того, що квадрат є окремим випадком прямокутника, площа якого знаходиться шляхом множення його суміжних сторін:

S = a * b

А тому всі сторони квадрата рівні, то замість боку b ми знову підставляємо в формулу сторону a , тобто S = a * a = a 2 .

2. По по довжині діагоналі

Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі:

S = d 2 /2

Співвідношення боку і діагоналі квадрата: d = a√ 2 .

Приклади завдань

Завдання 1
Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює 7 см.

Рішення:
Використовуємо формулу по довжині боку, тобто S = 7 2 = 49 см 2 .

Завдання 2
Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4 см.

Рішення 1:
Скористаємося другою формулою (по довжині діагоналі): S = 4 2 /2 = 8 см 2 .

Рішення 2:
Ми можемо висловити довжину сторони через діагональ: a = 4 / √ 2 . І тоді, використовуючи першу формулу, S = (4 / √ 2 ) 2 = 8 см 2 .