Декартові координати на площині

Декартову систему координат (або прямокутна система координат) вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 р. у праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z (аплікат).

Точка перетину, де осі перетинаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару чисел (x, y).

Декартова система координат

Дека́ртова систе́ма координа́т (або прямоку́тна систе́ма координа́т, англ. Cartesian coordinate system) — система координат, яка дозволяє однозначним чином визначити кожну точку на площині за допомогою пари числових координа́т, які задають знакові відстані до точки відносно двох визначених перпендикулярно спрямованих прямих, що задано в однакових одиницях довжини. Кожна така пряма, від якої відкладається відстань, називається віссю координат (англ. coordinate axis) або просто віссю системи, а точка, де вони перетинаються, називається початком координат, що має впорядковану пару координат (0, 0) . Координати також можна визначати як положення ортогональних проєкцій точки на ці дві осі, що задаються як знакові відстані від початку координат.

Демонстрація декартових координат на площині. Чотири точки відмічено й задано їх відповідними координатами: (2, 3) зеленим, (−3, 1) червоним, (−1.5, −2.5) синім, і початок координат (0, 0) — фіолетовим.

Коло із радіусом 2 із центром в початку координат в декартовій системі координат. Рівнянням кола є (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 де a і b є координатами центра (a, b) , а r є радіусом кола.

Декартову систему координат вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 року в праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».

Аналогічний принцип можливо застосовувати для визначення положення будь-якої точки у три-вимірному просторі за допомогою трьох впорядкованих декартових координат: знакових відстаней від неї до трьох взаємно перпендикулярних площин (або, так само, за допомогою її ортогональних проєкцій на три взаємно перпендикулярні прямі). В загальному випадку, n декартових координат (елемент дійсного n-вимірного простору [en] ) задають точку в n-вимірному евклідовому просторі будь-якої розмірності n. Ці координати дорівнюють, з точністю до знаку, відстаням від точки до n взаємно перпендикулярних гіперплощин.

Використовуючи декартову систему координат, геометричні фігури (а також криві) можливо описувати за допомогою алгебричних рівнянь, які містять координати точок, що належать фігурі. Наприклад, коло з радіусом 2, із центром у початку координат, можливо задати як множину всіх точок, координати x та y яких задовольняють рівнянню x 2 + y 2 = 4 .

Декартова система координат є основою аналітичної геометрії, а також надає інструмент для розуміння геометричних інтерпретацій для багатьох інших галузей математики, таких як лінійна алгебра, комплексний аналіз, диференціальна геометрія, числення багатьох змінних, теорія груп та інші. Знайомим усім прикладом є поняття графіка функції. Декартова система координат є також важливим інструментом для багатьох прикладних дисциплін, які мають справу із геометрією, зокрема для астрономії, фізики, інженерії та багатьох інших. Вона також є найчастіше вживаною системою координат у комп’ютерній графіці, системах автоматизованого проектування та розрахунку та інших засобах з обчислювальної геометрії.

Двовимірна система координат

Сучасна декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальну вісь позначають через x (вісь абсцис), вертикальну — через y (вісь ординат). У тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z (аплікат). Всі точки в системі декартових координат, складають так званий декартів простір.

Точка перетину, де осі перетинаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці вимірювання довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). У тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординати — додатні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю: