Момент інерції у фізиці

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Зміст:

Що таке інерція?

Інерція у фізиці – здатність тіл певний час зберігати стан руху при відсутності дії зовнішніх сил. Втім, поняття інерції має часте застосування не тільки у фізиці, але і в нашому повсякденному житті. Так зазвичай «інертною» називають людину, яка зовсім не проявляє ніякої ініціативи, робить тільки те, що їй скажуть інші, і робить це вкрай повільно, без будь-якого ентузіазму. «Рухається по інерції», – говоримо ми, коли хочемо підкреслити, що щось робиться без будь-якого сенсу, а просто тому, що так було заведено колись або в силу напрацьованої роками звички. І якщо з поняттям інерції все більш-менш зрозуміло, завдяки таким ось життєвим прикладам, то термін “момент інерції” вимагає більш детального пояснення, чим ми і займемося в нашій статті.

Визначення

Зі шкільної програми з фізики ми прекрасно знаємо, що маса тіла є мірою його інертності. Наприклад, якщо в супермаркеті сильно штовхнути два візки, один з яких буде порожній, а другий навантажений різними товарами, то згодом зупинити буде важче візок, навантажений товарами в силу його більшої маси. Іншими словами, чим більша маса тіла, тим більше на нього вплив інерції і тим більше потрібно сил, щоб змінити рух такого важкого тіла. У наведеному прикладі візок рухається по прямій лінії, тобто іншими словами робить поступальний рух. І якщо при поступальному русі якогось тіла його маса є мірою його інерції, то при обертальному русі тіла навколо своєї осі мірою його інерції буде величина, яка власне і називається – момент інерції. Момент інерції – скалярна фізична величина, міра інертності тіла при його обертанні навколо осі. Зазвичай позначається буквою J і вимірюється в кілограмах, помножених на квадратний метр. Таке академічне визначення того, що таке момент інерції.

Формула

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Приклади найпростіших об’єктів

Незважаючи на зовнішню простоту, обчислення моментів інерції для різних предметів передбачає знання інтегралів, цих важливих інструментів вищої математики. Для спрощення задачі створена таблиця з обчисленнями інерції для простих геометричних фігур: кола, квадрата, циліндра і т. д. Так виглядають математичні розрахунки обчислення моментів інерції для кола і кільця. Аналогічним чином буде розраховуватися момент інерції циліндра. Пропонуємо вашій увазі більш детальну таблицю з формулами для розрахунку моменту інерції для основних геометричних фігур: кулі, сфери, диска, циліндрів, і т. д.

Рекомендована література та корисні посилання

• Тарг С. М. Момент інерції // Фізична енциклопедія / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М: Велика Російська енциклопедія, 1992. — Т. 3. — С. 206-207. — 672 с.-48 000 прим. – ISBN 5-85270-019-3.
• Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. — 1999. — Vol. 286, no. 5437. – P. 77-84. — DOI:10.1126/science.286.5437.77. — PMID 10506564.
• Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)рос. : journal. — 2012. — Vol. 117. — DOI:10.1029/2012JE004161.
• Галкін І. М. позаземна сейсмологія. — М: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля і Всесвіт). – 15 000 прим. – ISBN 502005951X.
• Матвєєв. А. Н. Механіка і теорія відносності. М.: Вища школа, 1986. (3-е изд. М.: онікс 21 століття: світ і освіта, 2003. — 432с.)
• Трофімова Т. І. Курс фізики. — 7-е изд. — М: Вища школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваєв В. А. Механіка твердого тіла. Виклади. Видавництво Фізичного факультету МДУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. лекції з теоретичної механіки. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворський Б. М., Детлаф А. А. Фізика для школярів старших класів і вступників у вузи: навчальний посібник — М: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3

Автор: Павло Чайка, головний редактор журналу Пізнавайка

При написанні статті намагався зробити її максимально цікавою, корисною та якісною. Буду вдячний за будь-який зворотний зв’язок та конструктивну критику у вигляді коментарів до статті. Також Ваше побажання/питання/пропозицію можете написати на мою пошту [email protected] або у Фейсбук.

Ця стаття доступна англійською мовою – Moment of Inertia.

Момент інерції — формулювання, властивості, методи вирішення

Одним з фундаментальних властивостей фізичних тіл є момент інерції. Люди з ним стикаються у повсякденному житті при їзді на велосипеді або автомобілі, запуску різних механізмів, грі з м’ячем, катанні на каруселі і т.д.

Знання цього параметра важливо і в механіці, особливо при знаходженні сили, яка може привести тіло в обертання.

Основні поняття і суть

Інерція – це здатність тіла зберігати надану йому швидкість руху при відсутності будь-якого зовнішнього впливу.

Наприклад, під час їзди на громадському транспорті всім доводиться триматися за поручні. Якщо цього не зробити, то при зміні швидкості руху транспортного засобу існує велика ймовірність впасти вперед або назад. Іншими словами, виникає якась сила, що впливає на пасажира. Коли її дія закінчується, рух людини все одно триває.

Ця властивість і описується поняттям інертність. Раніше це явище вивчали відомі вчені Галілей, Ньютон, Мах. Відповідно до їх досліджень було встановлено класичне правило моменту обертання, фізичний сенс якого полягає в розподілі маси в тілі, яка визначається сумою добутку найпростішої маси на відстань до початкової множини у квадраті.

Класична формула, що описує характеристику, виглядає наступним чином:

• mi – маса в точці;
• rj – відстань від точки до координати.

Тобто момент – це скалярна величина, що є мірою інертності.

За одиницю виміру за міжнародною системою прийнято використовувати добуток кілограма на квадратний метр (кг*м²).

Позначають параметр латинською літерою I або J. при множенні моменту інерції на кутове прискорення можна визначити суму моментів всіх сил, прикладених до тіла:

• М – це момент сили, який надає обертальний рух і впливає на прискорення тіла,
• E — кутове прискорення.

Фактично, це рівняння є аналогом другого Закону Ньютона.

Міра інертності тіла відрізняється від маси тим, що друга проявляється, коли її необхідно розігнати, а перша — при її розкручуванні.

Обчислення параметра

Характеристика інерції тіл залежить від їх кількісних показників і форми. Для того щоб знайти характеристику, можна розглянути обертання матеріальної точки, що знаходиться на невагомій штанзі, що має довжину r і масу m.

Для такої ситуації формулу моменту інерції можна записати:

Довжина r являє собою радіус кільця, по якому відбувається обертання об’єкта по осі. Таким чином, розглянутий момент залежить не тільки від маси тіла, але і геометричних характеристик.

Будь-яке тіло можна описати сукупністю матеріальних точок. Для поняття процесу найкраще розглянути простий приклад. Нехай є невагомий циліндр, здатний обертатися по радіусу RC. На нього намотана мотузка, до якої прикладена сила F. На циліндр будуть насаджуватися тіла з різною формою. Якщо відомі його радіус і сила, з якою відбувається розкручування, то справедливо буде записати такий вираз:

Припустимо, на циліндр поміщені два тіла. Одне має масу m₁ і радіус обертання r₁, а інше – m₂ і r₂. Використовуючи основне рівняння динаміки обертального руху для першого тіла з кутовим прискоренням ƹ₁, момент сили можна визначити як M₁ = I₁ * ƹ₁. Відповідно, для другого предмета сила буде визначатися за формулою: M₁ = I₂ * ƹ₂.

Якщо ці два тіла жорстко скріпити між собою, то вони буду являти собою складові частини одного предмета, тому їх кутові прискорення стануть однакові (ƹ₁ + ƹ₂ = ƹ), а потрібний момент M стане рівний сумі M₁ + M₂. Підставивши значення, отримаємо рівність M = I₁*ƹ + I₂ * ƹ. Вираз можна спростити до виду M = ƹ (I₁+I₂).

Тобто потрібний момент для тіла, що складається з сукупності точок, буде дорівнює добутку суми моментів інерції на кутове прискорення обох тіл.

Зі сказаного можна зробити висновок, що момент інерції всього тіла дорівнює сумі моментів складових частин. Іншими словами, він має властивість адитивності. Використовуючи це, можна скласти алгоритм розрахунку для будь-якої форми.

Методика вирішення

Існує універсальний алгоритм, відповідний для розрахунку параметра прямокутника, трикутника, кола або іншої фігури довільної форми.

Припустимо, є складне тіло із заданою віссю обертання. Необхідно знайти момент його обертання. Для того щоб вирішити поставлене завдання, використовуються два принципи:

• Адитивність – це властивість, що позначає, що величина цілого значення визначається сумою відповідних йому частин.
• Формула знаходження моменту для матеріальної точки I = m * r².

Все тіло можна розділити на найдрібніші частинки, які являють собою матеріальні точки. Номери цих частин позначають у вигляді i. Маса довільної частини буде визначатися як дельта mi. Нехай цей шматок знаходиться на відстані ri від осі обертання O. Для цієї частини момент обертання знаходиться за допомогою формули Ii = Δ mi * ri². Враховуючи адитивність, загальний момент буде дорівнює

i приймає значення від 1 до n.

Ця формула є наближеною, оскільки точність залежить від маси частин і розміру. Якщо частини, на які розбивається тіло, великі, вважати їх матеріальними точками не можна. Чим дрібніше частини, тим точніше буде результат.

Відповідно до математичного аналізу такі завдання вирішуються за допомогою інтегрування.

Розуміючи фізичний сенс моменту інерції, можна відзначити наступні залежності:

• пряма пропорційність масі;
• відповідність квадрату розміру;
• зміна з урахуванням осі обертання.

Роль останнього пункту величезна. Наприклад, якщо розглянути два моменти обертання велосипедної спиці діаметром 2 мм і довжиною 30 сантиметрів, то можна побачити залежність від обраної осі повороту.

Щодо вертикальної осі обертання позначимо I₁, горизонтальної — I₂. Підставивши в Формули виразу, використовувані для розрахунків, можна отримати відношення I₁/I₂ = (m*l₂/l₂) / ((m*d²/8). Після його спрощення буде вірна запис I₁/I₂ = (2/3) * (l/d) 2 .

У підсумку вийде відповідь 15000. Виходить, якщо спицю будуть закручувати з однаковим моментом навколо вертикальної осі і горизонтальної, то в першому випадку вона стане крутитися в 15 тис. разів швидше.

Моменти найпростіших об’єктів

Проведення інтегрування – це досить важка операція, яка передбачає знання вищої математики. Існує таблиця, в якій зібрані обчислення інерції для найпростіших геометричних фігур. При взятті відомостей з неї важливо звертати увагу на те, щодо якої осі наводиться момент обертання об’єкта. Характеристика інерції для найбільш використовуваних об’єктів у фізиці має наступний вигляд:

• Кільце. Припустивши, що точка має симетричне значення з протилежного боку осі, можна стверджувати, що формула не зміниться. Якщо ж точку розподілити по площині перпендикулярній осі, то вийде кільце. Воно буде мати таку ж масу з частинами, що знаходяться на однаковій відстані від центру r. Обчислення моменту щодо осі обертання виконують за тією ж формулою, що і для матеріальної точки: I = m * r² .
• Тонкостінний циліндр. Намалювавши таку фігуру і вказавши на ній вісь обертання, масу і радіус, нескладно буде побачити, що формула для знаходження моменту буде аналогічна кільцю.
• Диск. Обертання його відбувається щодо осі, що проходить через його центр. З огляду на те, що маса однорідного диска розподілена по всій його площі, то момент його буде менше, ніж у кільця. Проведені розрахунки показали, що момент диска буде менше в два рази. Таким чином, формула виглядає як I = m*r²/2 .
• Суцільний циліндр. Отримують таку фігуру простим розподілом маси суцільного диска уздовж осі. За аналогією з кільцем розрахунок його характеристики інерції буде збігатися з однорідним диском.
• Куля. Момент осі, що проходить через центр ваги дорівнює подвоєному добутку m*r², розділеному на 5: I = (m * r²) * 2/5.
• Сфера. Такий об’єкт відрізняється від кулі лише тим, що всередині він порожнистий. Напрямок обертання осі відбувається через центр. Значення параметра для неї буде більше, ніж кулі, оскільки маса зібрана не статично в одному місці, а розміщена по всій поверхні. Розрахунки показують, що знайти момент можна за формулою I =2*m*r² /3 .
• Стрижень. Момент обертання проходить через центр уздовж осі, перпендикулярної стрижню: I = (1/12)*m * L2. L – довжина стрижня.

При використанні цих формул необхідно враховувати, що одиницею вимірювання моменту інерції є кг* м², тому при розрахунку величини слід приводити значення до цих одиниць.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Теорема була названа на честь двох математиків, що дали формулювання визначенню характеристики паралельних осей. Наприклад, нехай є об’єкт довільної форми, відцентрова сила якого відома.

Використовуючи формулу Штейнера, можна обчислити момент тіла щодо будь-якої осі паралельної лінії, що проходить через середину фігури. У своєму висновку вчені спиралися на дві формули:

• Обчислення координати центру мас: X = (m₁ * x₁ + m₂ * x₂+… + Mi * Xi) / (m₁+M₂+…+Mi) = (Σ Δ mi*ri²)/m.
• Універсального розрахунку інерції будь-якого тіла: I = Σ Δ mi * ri².

Позначивши центр довільної осі буквою O, а один з безлічі шматків — Δm, можна скористатися універсальною формулою. Спочатку необхідно визначити квадрат відстані до осі обертання ri. Для цього через центр проведемо вісь Оц, а відстань між O і Оц позначимо як d.

Зазначені значення потрібно виразити через координати частини. Для цього будується вісь абсциси, що проходить через Оц, і ординату — O. При такому виборі напрямку початку координат x центр мас дорівнює d, а у — нулю. Фактично вийде прямокутний трикутник. Скориставшись теоремою Піфагора, можна записати:

I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результаті можна відзначити, що момент в точці O буде прямо пропорційний відстані між Δm і центром. Це і є головний вектор на кресленні. Для його позначення вводиться довжина r’.

Знаходиться ri’² за формулами для прямокутного трикутника, в якому один катет дорівнює yi, а інший — xi — Оц. Значення ri’ збігається з довжиною гіпотенузи.

Таким чином, ri’2 = (xi — Оц)² + yi2.

Підставивши отриману рівність в формулу знаходження параметра моменту в центрі, можна отримати наступну формулу: Io = Σ Δ mi *((xi — Оц)² + yi²). Після ряду підстановок і спрощення виразу в підсумку вийде рівність Io = I + m*x i² — 2*m*xi² = I — m*xi².

Так як x центру мас збігається з d, відстанню між осями, одну з яких можна направити через центр, то формулу можна переписати як Io = I — m*d². Виразивши з виразу довільний момент, формула Штейнера набуде вигляду

Іншими словами, теорема визначає, що характеристика інерції тіла щодо будь-якої осі знаходиться як сума моментів щодо паралельній осі, що перетинає центр мас, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями. Опором обертанню нехтують.

Приклад задачі

Припустимо, є монета з масою м і радіусом р. Обертання відбувається навколо осі, що розташована по дотичній. Необхідно знайти момент обертання.

Для цього потрібно знати характеристику прямої, I₀. Рішення буде визначатися сумою I₀ і відстанню від центру до дотичної, яка дорівнює діаметру монети: I = I₀ + md². Фактично завдання полягає в знаходженні І₀. Визначається цей параметр згідно з теоремою про взаємноперпендикулярні вісі.

Момент обертання щодо диска визначається за допомогою виразу I1 = M * d²/2. Для вирішення завдання вона буде виглядати I₀ = M * D²/4. Підставивши всі дані, отримаємо: I = (1M * D²/4) + (md)2 = 5*M*D²/4.

11.6: Момент інерції

Приклад \(\PageIndex<1>\) Обчисліть момент інерції однорідного тонкого кільця маси \(M\) and radius \(R\) , rotated about an axis that goes through its center and is perpendicular to the disk. Рішення: Беремо невеликий масовий елемент \(dm\) кільця, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Малюнок \(\PageIndex\) : Невеликий масовий елемент на кільці. Момент інерції задається: \[\begin I = \int dm r^2\end\] У цьому випадку кожен масовий елемент навколо кільця буде знаходитися на однаковій відстані від осі обертання. Значення \(r^2\) в інтегралі є постійною по всьому кільцю, і тому може бути виведена з інтеграла: \[\begin I = \int dm r^2 = R^2\int dm\end\] де ми використовували той факт, що кільце має радіус \(R\) , тому відстань \(r\) кожного масового елемента до осі обертання дорівнює \(R\) . Інтеграл: \[\begin \int dm\end\] просто означає «підсумувати всі маси елементів \(dm\) », і, таким чином \(M\) , дорівнює загальній масі кільця. Момент інерції кільця такий: \[\begin I = R^2\int dm = MR^2\end\]

Теорема про паралельну вісь

Момент інерції твердого предмета може бути важко обчислити, особливо якщо об’єкт не симетричний. Теорема паралельної осі дозволяє визначити момент інерції об’єкта навколо осі, якщо ми вже знаємо момент інерції об’єкта навколо осі, яка паралельна і проходить через центр мас об’єкта. Розглянемо об’єкт, для якого ми знаємо момент інерції \(I_\) , про вісь, яка проходить через центр маси об’єкта. Визначимо таку систему координат, щоб початок знаходився в центрі мас, а \(z\) вісь паралельна осі, про яку ми знаємо момент інерції, як показано на малюнку \(\PageIndex\) . Малюнок \(\PageIndex\) : Об’єкт з системою координат, початок якого знаходиться в центрі мас об’єкта, і для якого ми знаємо момент інерції навколо \(z\) осі. Ми хочемо визначити момент інерції об’єкта через другу вісь, паралельну \(z\) осі, але розташовану на відстані h від центру маси. Ми хочемо визначити момент інерції для об’єкта для осі, яка паралельна \(z\) осі, але проходить через точку з координатами, \((x_0,y_0)\) розташованими на \(h\) відстані від центру маси. Момент інерції навколо осі, паралельної \(z\) осі і яка проходить через цю точку, \(I_h\) задається: \[\begin I_h = \sum_i m_i r_i^2\end\] де \(m_i\) знаходиться масовий елемент предмета, розташований на відстані \(r_i\) від осі обертання. Якщо масовий елемент розташований у положенні \((x_i,y_i)\) щодо центру маси, ми можемо записати відстань \(r_i\) через положення масового елемента та положення осі обертання: \[\begin r_i^2 = (x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2 = x_i^2-2x_ix_0+x_0^2+y_i^2-2y_iy_0+y_0^2\end\] Зверніть увагу, що: \[\begin x_0^2 + y_0^2 = h^2\end\] Момент інерції, \(I_h\) , Таким чином, можна записати так: \[\begin I_h &= \sum_i m_i r_i^2 =\sum_i (m_i(x_i^2+ y_i^2)-2x_0m_ix_i-2y_0m_iy_i+m_ih^2)\\ &=\sum_i m_i(x_i^2+ y_i^2) + h^2\sum_i m_i – 2x_0 \sum_im_ix_i- 2y_0 \sum_im_iy_i\end\] де ми розбили суму на кілька сум, і враховували постійні терміни ( \(h\) , \(x_0\) , \(y_0\) ) з сум, оскільки ці константи не залежать від того, який елемент маси ми розглядаємо. Перший член – це момент інерції про центр мас, так як \(x_i^2+y_i^2\) це відстань до центру мас. Другий член – це \(h^2\) раз загальна маса об’єкта, оскільки сума \(m_i\) всього всього лише маси \(M\) , об’єкта. Тепер розглянемо термін: \[\begin -2x_0 \sum_im_ix_i\end\] Сума, \(\sum m_i x_i\) є чисельником у визначенні \(x\) координати центру мас! Таким чином, сума дорівнює нулю, тому що ми вибираємо походження, яке буде розташовуватися в центрі маси. Останні два члена в сумі, таким чином, ідентичні нулю, тому що вони відповідають \(y\) координатам \(x\) і центру мас! Таким чином, ми можемо записати теорему паралельної осі: \[I_=I_+Mh^\] де \(I_\) – момент інерції об’єкта маси \(M\) навколо осі, яка проходить через центр маси і \(I_h\) , – момент інерції навколо другої осі, яка паралельна першій і відстань \(h\) .

Приклад \(\PageIndex<2>\) У попередньому розділі ми розрахували момент інерції стрижня довжини \(L\) and mass \(M\) through an axis that is perpendicular to the rod and through one of its ends, and found that it was given by: \[\begin I=\fracML^2\end\] Який момент інерції стрижня навколо осі, яка перпендикулярна стрижню і йде через його центр мас? Рішення: У цьому випадку ми знаємо момент інерції через вісь, яка не проходить через центр мас. Центр мас розташовується на \(h=L/2\) відстані від точки, про яку нам відомий момент інерції, \(I_h\) . Використовуючи теорему паралельної осі, ми можемо знайти момент інерції через центр мас: \[\begin I_ &= I_h – Mh^2\\ &=\fracML^2 – M \left( \frac<2>\right)^2 = \fracML^2\end\] Обговорення: Виявляємо, що момент інерції навколо центру мас менше моменту інерції про кінець стрижня. Це має сенс, оскільки при обертанні стрижня навколо свого кінця більша частина його маси знаходиться далі від осі обертання, що призводить до більшого моменту інерції.