2.9: Характеристика електричної діелектричної проникності водних розчинів

Діелектрична проникність (в рамках електромагнетики) – це фундаментальна властивість матеріалу, яка описує, як матеріал буде впливати на електромагнітне поле, що змінюється в часі, і на нього вплине. Параметри діелектричної проникності часто розглядаються як комплексна функція застосованого електромагнітного поля, оскільки комплексні числа дозволяють виражати величину і фазу. Фундаментальне рівняння для комплексної діелектричної проникності речовини (ε _s) задається\ ref , де ε’ і ε» – дійсна і уявна складові, відповідно, ω – радіальна частота (rad/s) і може бути легко перетворена в частоту (Герц, Гц) за допомогою\ ref . \[ \varepsilon _ = \varepsilon ‘ ( \omega )\ -\ i\varepsilon ”(\omega ) \label \] \[ \omega \ =\ 2\pi f \label \] Зокрема, реальні та уявні параметри, визначені в комплексному рівнянні діелектричної проникності, описують, як матеріал буде зберігати електромагнітну енергію і розсіювати цю енергію як тепло. Процеси, що впливають на реакцію матеріалу на електромагнітне поле, що змінюється в часі, залежать від частоти і, як правило, класифікуються як іонні, диполярні, коливальні або електронні за своєю природою. Ці процеси виділені як функція частоти на рис \(\PageIndex\) . Іонні процеси відносяться до загального випадку зарядженого іона, що рухається вперед і назад у відповідь на змінне в часі електричне поле, в той час як диполярні процеси відповідають «перевертанню» і «скручування» молекул, які мають постійний електричний дипольний момент, такий як той, що спостерігається з молекулою води в мікрохвильовій печі. Приклади коливальних процесів включають молекулярні коливання (наприклад, симетричні та асиметричні) та пов’язані з ними стани вібраційного обертання, які є інфрачервоними (ІЧ) активними. Електронні процеси включають оптичне та ультрафіолетове (УФ) поглинання та розсіювання явище, яке спостерігається у видимому ультрафіолетовому діапазоні. Малюнок \(\PageIndex\) А спектр діелектричної проникності в широкому діапазоні частот. ε′ і ε″ позначають дійсну і уявну частину діелектричної проникності відповідно. На зображенні позначені різні процеси: іонна і диполярна релаксація, атомні та електронні резонанси при вищих енергіях. Найбільш поширені відносини вчених, які мають з діелектричною проникністю, через поняття відносної діелектричної проникності: діелектричної проникності матеріалу щодо вакуумної діелектричної проникності. Також відома як діелектрична проникність, відносна діелектрична проникність (ε _r) задається\ ref , де ε _s – діелектрична проникність речовини, а ε ₀ – діелектрична проникність вакууму (ε ₀ = 8,85 х 10 -12 Фарадс/м). Хоча відносна діелектрична проникність насправді є динамічною і функцією частоти, діелектричні константи найчастіше виражаються для електричних полів низької частоти, де електричне поле має істотне статичне значення за своєю природою. Таблиця \(\PageIndex\) зображує діелектричні проникні для цілого ряду матеріалів. \[ \varepsilon _ \ =\ \varepsilon_ / \varepsilon_ \label \]

Таблиця \(\PageIndex\) : Відносні діелектричні проникності різних матеріалів під статичними (тобто незмінними за часом) електричними полями.

Матеріал	Відносна діелектрична проникність
Вакуум	1 (за визначенням)
Повітря	1.00058986
Політетрафторетилен (PTFE, тефлон)	2.1
Папір	3.85
Діамант	5.5-10
Метанол	30
Вода	80.1
Діоксид титану (TiO 2)	86-173
Титанат стронцію (StRiO 3)	310
Титанат барію (BaTiO 3)	1 200 – 10 000
Титанат міді кальцію (CaCu 3 Ti 4 O 12)	> 250 000

Діелектричні константи можуть бути корисними для загальних застосувань, за допомогою яких високочастотною характеристикою можна знехтувати, хоча такі програми, як радіозв’язок, мікрохвильова піч та дизайн оптичної системи, вимагають більш суворого та всебічного аналізу. Особливо це стосується електричних пристроїв, таких як конденсатори, які є елементами ланцюга, які зберігають та розряджають електричний заряд як статичним, так і в змінному часі способом. Конденсатори можна розглядати як два паралельні пластинчасті електроди, які розділені кінцевою відстанню і «сендвіч» разом шматок матеріалу з характерними значеннями діелектричної проникності. Як видно на малюнку \(\PageIndex<2>\) , ємність – це функція діелектричної проникності матеріалу між пластинами, яка в свою чергу залежить від частоти. Отже, для конденсаторів, включених в схему для програм радіозв’язку, по всьому спектру 8.3 кГц – 300 ГГц, частотна характеристика буде важливою, оскільки це визначатиме здатність конденсаторів заряджати та розряджатися, а також теплову характеристику від електричних полів, що розсіюються їх потужність як тепло через матеріал. Малюнок \(\PageIndex<2>\) Паралельна пластина конденсатора площею, А, розділена на відстань, d Ємність конденсатора безпосередньо пов’язана з діелектричною проникністю (ε) матеріалу між обкладинками, як показано в рівнянні. Оцінка електричних характеристик матеріалів стає все більш популярною – особливо в галузі електроніки, де технології мініатюризації часто вимагають використання матеріалів з високими діелектричними постійними. Склад та хімічні варіації матеріалів, таких як тверді речовини та рідини, можуть приймати характерні реакції, які прямо пропорційні кількості та типам хімічних видів, що додаються до матеріалу. Приклади, наведені тут, пов’язані з водними суспензіями, завдяки яким електричну діелектричну проникність можна легко модулювати за допомогою додавання хлориду натрію (NaCl).

Контрольно-вимірювальні прилади

Поширеним і надійним методом вимірювання діелектричних властивостей рідких зразків є використання аналізатора імпедансу спільно з діелектричним зондом. Аналізатор імпедансу безпосередньо вимірює складний імпеданс випробуваного зразка, а потім перетворюється на діелектричну проникність за допомогою системного програмного забезпечення. Існує безліч методів вимірювання імпедансу, кожен з яких має свої притаманні переваги та недоліки та фактори, пов’язані з цим конкретним методом. До таких факторів можна віднести частотний діапазон, точність вимірювань і простоту експлуатації. Загальні вимірювання імпедансу включають метод моста, резонансний метод, метод струмової напруги (I-V), метод мережевого аналізу, метод автоматичного балансування моста та радіочастотний (RF) I-V метод. Метод RF I-V, який використовується тут, має ряд переваг перед раніше згаданими методами, такими як розширене частотне покриття, краща точність та ширший вимірюваний діапазон імпедансу. Принцип методу RF I-V заснований на лінійному співвідношенні відношення напруга-струм до імпедансу, як це дано законом Ома (V = IZ, де V – напруга, I – струм, а Z – імпеданс). Це призводить до того, що чутливість вимірювання імпедансу є постійною незалежно від вимірюваного імпедансу. Хоча повний опис цього методу включає в себе теорію схем і виходить за рамки цього модуля (див. «Посібник з вимірювання імпедансу» для отримання повної інформації), короткий схематичний огляд принципів вимірювання наведено на малюнку \(\PageIndex\) . Малюнок \(\PageIndex\) (а) Діелектричний зонд (рідини розміщені на цьому зонді). Схема схеми вимірювань імпедансу для (б) матеріалів з низьким і (c) високим імпедансом. Схеми символів Osc, Zx, V, I і R представляють генератор (тобто джерело частоти), імпеданс зразка, напруга, струм і опір відповідно. Як видно на малюнку 3, метод RF I-V, який включає використання діелектричного зонда, по суті вимірює зміни напруги та струму, коли зразок розміщується на діелектричному зонді. Для випадку з низьким імпедансом імпеданс зразка (Zx) задається\ ref , для високоімпедансного зразка імпеданс зразка (Zx) задається\ ref . \[ Z_ \ =\ V/I \ =\frac< \frac>>\ -\ 1> \label \] \[ Z_ \ =\ V/I \ =\frac[\frac>> -\ 1] \label \] Описані тут прилади та методи складаються з аналізатора імпедансу Agilent E4991A, підключеного до діелектричного зонда Agilent 85070E. Аналізатор імпедансу безпосередньо вимірює складний імпеданс досліджуваного зразка, вимірюючи або частотно-залежну напругу або струм на зразку. Ці значення потім перетворюються на значення діелектричної проникності за допомогою системного програмного забезпечення.

Додатки

Електрична діелектрична проникність деіонізованої води та фізіологічного розчину (0,9% w/v NaCl)

Для того, щоб придбати електричну проникність водних розчинів, спочатку слід відкалібрувати аналізатор імпедансу та діелектричний зонд. У першому випадку блок аналізатора імпедансу калібрується в умовах розімкнутого замикання, короткого замикання, навантаження 50 Ом та умов ємності з низькими втратами шляхом приєднання відповідних зондів, показаних на малюнку \(\PageIndex<4>\) . Потім діелектричний зонд приєднується до системи і повторно калібрується на відкритому повітрі, з приєднаним зондом короткого замикання і, нарешті, з 500 мкл високоочищеної деіонізованої води (з питомим опором 18,2 мОм/см при 25° C) (рис. \(\PageIndex\) ). Потім вода видаляється, і система готова до отримання даних. Малюнок Калібрування аналізатора \(\PageIndex<4>\) імпедансу (A) Аналізатор імпедансу Agilent E4991A підключений до діелектричного зонда 85070E. (B) Стандарти калібрування (зліва направо: обрив ланцюга, коротке замикання, навантаження 50 Ом, конденсатор з низькими втратами), (C) Приєднання розімкнутого ланцюга, короткого замикання, навантаження 50 Ом та конденсатора з низькими втратами (відповідно зліва направо). Малюнок калібрування \(\PageIndex\) діелектричного зонда (A) Екран аналізатора імпедансу знімок показує лінію даних для діелектричного зонда на відкритому повітрі. (B) зонд короткого замикання (C) діелектричний зонд (D), підключений до аналізатора імпедансу в умовах відкритого повітря (E) зонд короткого замикання, прикріплений до діелектричного зонда (F) 500 мкл деіонізованої води на діелектричному зонді. Для підтримки точної калібрування слід використовувати тільки найчистішу деіонізовану воду з питомим опором 18,2 мОм/см при 25° С. Щоб виконати аналіз, просто завантажте діелектричний зонд 500 мкл зразка та натисніть на вкладку «Отримати дані» в програмному забезпеченні. Система виконає сканування в діапазоні частот 200 МГц — 3 ГГц і придбає реальну і уявну частини комплексу діелектричної проникності. Період, з яким береться точка даних, а також масштаб (тобто журнал або лінійний) також можуть бути змінені в програмному забезпеченні, якщо це необхідно. Для аналізу іншого зразка видаліть рідину і акуратно просушіть діелектричний зонд паперовим рушником. Потім слід виконати калібрування оновлення під відкритим небом (натисканням відповідної кнопки в програмному забезпеченні), оскільки це запобігає помилкам та дрейфу приладу від зразка до зразка. Для аналізу нормального фізіологічного розчину (0,9% NaCl w/v) розчиніть 8,99 г NaCl в 1 літрі води DI (18,2 мОм/см при 25° C) для створення 154 мМ розчину NaCl (еквівалентно 0,9% NaCl w/v розчину). Завантажте 500 мкл зразка на діелектричний зонд і придбайте новий набір даних, про який говорилося раніше. Користувачі повинні проконсультуватися з «Посібником з встановлення та швидкого запуску Agilent» для отримання повної інформації щодо параметрів калібрування аналізатора імпедансу та діелектричного зонда.

Аналіз даних

Файли даних, витягнуті з аналізатора імпедансу та налаштування діелектричного зонда, описані раніше, можуть бути відкриті за допомогою будь-якого стандартного програмного забезпечення для обробки даних, такого як Microsoft Excel. Дані відображатимуться у трьох стовпцях, які будуть позначені частотою (Гц), ε’ та ε» (що представляють реальну та уявну складові діелектричної проникності відповідно). Будь-яке графічне програмне забезпечення може бути використано для створення простих графіків складної діелектричної проникності в залежності від частоти. У наведеному нижче прикладі (Рисунок \(\PageIndex<6>\) ) ми використовували Prism для графіка реальної та складної діелектричної проникності проти частоти (200 МГц – 3 ГГц) для зразків води та сольового розчину. Для цього діапазону частот виправлення помилок не потрібно. Для аналізу частот нижче 200 МГц до 10 МГц, що може бути досягнуто за допомогою аналізатора імпедансу та конфігурації діелектричного зонда, необхідні алгоритми корекції помилок, що враховують ефекти поляризації електродів, які перекошують та спотворюють дані. Gach et al. охоплюють ці необхідні алгоритми, які можуть бути використані при необхідності. Малюнок \(\PageIndex<6>\) Реальна та Уявна складові діелектричної проникності для зразків води (зліва) та сольового розчину (праворуч) у діапазоні частот 200 МГц — 3 ГГц.

3.3: Поляризація діелектриків

\[\ \mathbf

=\chi_<\mathrm> \varepsilon_ \mathbf,\tag\] з безрозмірною постійною \(\chi_<\mathrm>\) називають електричної сприйнятливістю. Однак набагато частіше використовується замість іншого безрозмірного параметра, 12 \(\chi_\)

Діелектрична проникність

\[\ \kappa \equiv 1+\chi_<\mathrm>,\tag\] яку іноді називають «відносною електричною проникністю», але набагато частіше діелектричної проникності. Цей параметр дуже зручний, тому що поєднуючи Eqs. (43) і (44), \[\ \mathbf=(\kappa-1) \varepsilon_ \mathbf.\tag\] а потім підключивши отримане відношення до загального Eq. (33), отримуємо просто \[\ \mathbf=\kappa \varepsilon_ \mathbf, \quad \text < or >\mathbf=\varepsilon \mathbf,\tag\] де ще один популярний параметр, 13

Електрична діелектрична проникність

\[\ \varepsilon \equiv \kappa \varepsilon_ <0>\equiv\left(1+\chi_<\mathrm>\right) \varepsilon_<0>.\tag\] \(\varepsilon\) називається електричною діелектричною проникністю матеріалу. У таблиці 14 наведені приблизні значення діелектричної проникності для декількох представницьких матеріалів. Для того щоб зрозуміти діапазон цих значень, дозвольте обговорити (досить поверхово) два найпростіших механізму електричної поляризації. Перший з них характерний для рідин і газів полярних атомів/молекул, які мають свої, спонтанні дипольні моменти \(\mathbf

\) . (Типовим прикладом є молекула води \(\mathrm_ \mathrm\) , при цьому негативний іон кисню зміщений від лінії, що з’єднує два позитивні іони водню, таким чином виробляючи спонтанний дипольний момент \(p=e a\) , с \(a \approx 0.38 \times 10^ \mathrm \sim r_<\mathrm>\) .) При відсутності зовнішнього електричного поля орієнтація таких диполів може бути випадковою, при цьому середня поляризація \(\mathbf=n\langle\mathbf

\rangle\) дорівнює нулю — див. Верхню панель рис.7а.

Таблиця 3.1. Діелектричні константи декількох представницьких (і/або практично важливих) діелектриків

Матеріал	\(\kappa\)
Повітря (в умовах навколишнього середовища)	Тефлон (політетрафторетилен, \(\left[\mathrm_ \mathrm_4\right]_\)	Діоксид кремнію (аморфний)	Окуляри (різних складів)	касторове масло	Кремній (а)	Вода (при 100 о С)	Вода (при 20 o С)	Титанат барію ( \(\mathrm_\) , при 20 o С)	(а) Анізотропні матеріали, такі як кристали кремнію, вимагають тензора сприйнятливості, щоб дати точний опис лінійного співвідношення векторів \(\mathbf\) і \(\mathbf\) . Однак найважливіші кристали (включаючи Si) є лише слабо анізотропними, так що вони можуть бути досить добре характеризуються скалярною (середньокутовою) сприйнятливістю. Мал. 3.7. Сирі карикатури двох механізмів індукованої електричної поляризації: (а) часткове впорядкування спонтанних елементарних диполів і (б) елементарна дипольна індукція. Верхні дві панелі відповідають \(\mathbf=0\) , а нижні дві панелі, до \(\mathbf \neq 0\) . Відносно слабке зовнішнє поле істотно не змінює величину дипольних моментів, але відповідно до Eqs. (15a) і (17) намагається зорієнтувати їх уздовж поля, і таким чином створює ненульове векторне середнє, \(\langle\mathbf \rangle\) спрямоване вздовж вектора \(\left\langle\mathbf_<\mathrm>\right\rangle\) , де \(\mathbf_<\mathrm>\) знаходиться мікроскопічне поле в точці розташування диполя — див. дві панелі рис. 7а. Якщо поле не два високих \(\left(p\left\langle E_<\mathrm>\right\rangle<> T\right)\) , індукована середня поляризація \(\langle\mathbf \rangle\) пропорційна \(\left\langle\mathbf_<\mathrm>\right\rangle\) . Якщо ми запишемо це співвідношення пропорційності в наступній традиційній формі, Атомна поляризуваність \[\ \langle\mathbf \rangle=\alpha \mathbf_<\mathrm>\tag\] де \(\alpha\) називається атомна (або, іноді, «молекулярна») поляризуемость, це означає, що \(\alpha\) позитивна. Якщо \(n\) концентрація таких елементарних диполів низька, внесок власних полів у мікроскопічне поле, що діє на кожен диполь, незначний, і ми можемо ідентифікувати \(\left\langle\mathbf_<\mathrm>\right\rangle\) з макроскопічним полем \(\mathbf\) . В результаті другий з екв. (27) поступається \[\ \mathbf \equiv n\langle\mathbf \rangle=\alpha n \mathbf.\tag\] Порівнюючи це відношення з ур. (45), отримаємо \[\ \kappa=1+\frac> n,\tag\] так що \(\kappa>1\) (тобто \(\chi_<\mathrm>>0\) ). Зауважимо, що при цьому конкретному поляризаційному механізмі (проілюстровано на нижній панелі рис. 7а) тепловий рух «намагається» рандомізувати дипольну орієнтацію, тобто зменшити його впорядкування по полю, так що ми можемо очікувати \(\alpha\) , а отже, і \(\chi_<\mathrm> \equiv \kappa-1\) збільшуватися при зниженні температури \(T\) – так звана параелектрика. Дійсно, основна статистична механіка 15 показує, що в даному випадку електрична сприйнятливість слідує закону \(\chi_<\mathrm> \propto 1 / T\) . Матеріали другого, набагато більш поширеного класу складаються з неполярних атомів без внутрішньої спонтанної поляризації. Сире класичне зображення такого атома – ізотропна хмара негативно заряджених електронів, що оточують позитивно заряджене ядро — див. Верхню панель рис.7б. Зовнішнє електричне поле зміщує позитивний заряд в напрямку вектора \(\mathbf\) , а негативні заряди в протилежну сторону, створюючи таким чином аналогічно спрямований середній дипольний момент \(\langle\mathbf \rangle\) . 16 На відносно низьких порах цей середній момент пропорційний \(\mathbf\) , так що ми знову приходимо до Eq. (48), з \(\alpha>0\) , і якщо концентрація диполів \(n\) досить низька, також при Eq. (50), с \(\kappa-1>0\) . Отже, діелектрична проникність більша за 1 для обох поляризаційних механізмів – будь ласка, подивіться ще одну таблицю 1. Для того щоб зробити грубу, але фізично прозору оцінку різниці \(\kappa-1\) , розглянемо наступну іграшкову модель неполярного діелектрика: сукупність подібних провідних сфер радіусу \(R\) , розподілених в просторі з низькою щільністю \(n<<1 / R^\) . При такій щільності електростатична взаємодія сфер незначна, і ми можемо використовувати Eq. (11) для індукованого дипольного моменту однієї сфери. Тоді визначення поляризуваності (48) дає \(\alpha=4 \pi \varepsilon_ R^\) , так що Eq. (50) дає \[\ \kappa=1+4 \pi R^ n.\tag\] Скористаємося цим результатом для грубої оцінки діелектричної проникності повітря при так званих умовах навколишнього середовища, що означає нормальний атмосферний тиск \(\mathcal=1.013 \times 10^ \text< Pa>\) і температуру \(T=300 \mathrm\) . У цих умовах молекулярна щільність \(n\) може бути, з точністю до декількох відсотків, знайдена з рівняння стану ідеального газу: 17 \(n \approx \mathcal / k_<\mathrm> T \approx\left(1.013 \times 10^\right) /\left(1.38 \times 10^ \times 300\right) \approx 2.45 \times 10^ \mathrm^\) . Молекула основного компонента повітря \(\mathrm_\) , має радіус Ван-дер-Ваальса 18 of \(1.55 \times 10^ \mathrm\) . Взявши цей радіус для \(R\) нашої сирої моделі, отримуємо \(\chi_<\mathrm> \equiv \kappa-1 \approx 1.15 \times 10^\) . Порівнюючи це число з першим рядком таблиці 1, ми бачимо, що модель дає напрочуд розумний результат: щоб отримати експериментальне значення, досить зменшити ефективність \(R\) сфери на справедливість \(\sim 30 \%\) , до \(\sim 1.2 \times 10^ \mathrm\) . 19 Цей результат може спонукати нас спробувати використовувати Eq. (51) для більшої щільності n Наприклад, як сирої моделі для неполярного кристала, припустимо, що провідні сфери утворюють просту кубічну решітку з періодом \(a=2 R\) (тобто сусідні сфери практично торкаються). При цьому \(n=1 / a^=1 / 8 R^\) і ур. (44) поступається \(\kappa=1+4 \pi / 8 \approx 2.5\) . Ця оцінка дає розумне напівякісне пояснення значень \(\kappa\) перерахованих в декількох середніх рядках таблиці 1. Однак на таких малих відстанях електростатична диполь-дипольна взаємодія повинна бути вже істотною, так що ця проста модель не може навіть приблизно описати значення \(\kappa\) набагато більше 1, перерахованих в останніх рядках таблиці. Такі високі значення можна пояснити так званим ефектом молекулярного поля: кожен елементарний диполь поляризується не тільки зовнішнім полем (як припускає екв. (49)), але і полем сусідніх диполів. Оттавіно-Фабріціо Моссотті в 1850 році і (можливо, самостійно, але майже через 30 років) Рудольф Клаузіус запропонував те, що зараз відомо, досить несправедливо, як формула Клаузіуса-Моссотті, яка добре описує цей ефект в широкому класі неполярних матеріалів. 20 У нашому позначенні він читає 21 Формула Клаузіаса-Моссотті \[\ \frac<\kappa-1><\kappa+2>=\frac<3 \varepsilon_>, \quad \text < so that >\kappa=\frac<1+2 \alpha n / 3 \varepsilon_><1-\alpha n / 3 \varepsilon_>.\tag\] Якщо щільність диполів у цьому сенсі низька \(\alpha n<\) , це співвідношення зменшується до Eq. (50), що відповідає незалежним диполям. Однак при більшій дипольній щільності обидва \(\chi_<\mathrm>\) збільшуються набагато швидше \(\kappa\) і прагнуть до нескінченності, оскільки продукт щільності-поляризуваності наближається до деякого критичного значення \(n_<\mathrm>\) , у простій моделі Клаузіуса-Моссотті рівному \(3 \varepsilon_ / \alpha\) . 22 Це означає, що стан нульової поляризації стає нестабільним навіть при відсутності зовнішнього електричного поля. Ця нестабільність є лінійним (тобто низькопольовим) проявом суттєво нелінійного ефекту — формування в деяких матеріалах спонтанної поляризації навіть за відсутності зовнішнього електричного поля. Такі матеріали називаються сегнетоелектриками, і можуть бути експериментально розпізнані за гістеретичною поведінкою їх поляризації як функції прикладного (зовнішнього) електричного поля — див. Рис. 8. Як показують сюжети, поляризація сегнетоелектрика залежить від історії прикладного поля. Наприклад, напрямок її спонтанної залишкової поляризації \(P_<\mathrm>\) можна перемикати, спочатку застосовуючи, а потім видаляючи досить високе поле (більше, ніж так зване примусове поле \(E_<\mathrm>\) — див. Рис. 8) протилежної орієнтації. Фізика цього перемикання досить задіяна; вектор \(\mathbf\) поляризації сегнетоелектричного матеріалу, як правило, постійний лише в межах кожної з спонтанно сформованих просторових областей (званих доменами), з типовим розміром в кілька десятих мікрона та різними (часто, протилежними) напрямками вектор \(\mathbf\) в суміжних доменах. Зміна прикладеного електричного поля призводить не до перемикання напрямку \(\mathbf\) всередині кожної області, а скоріше до зсуву доменних стінок, що призводить до зміни середньої поляризації зразка. Мал. 3.8. Середня поляризація м’яких і твердих сегнетоелектриків як функції прикладного електричного поля (схематично). Залежно від матеріалу сегнетоелектрика, температури та геометрії зразка (твердий кристал, керамічний матеріал або тонка плівка) гістеретичні петлі можуть бути досить різними, починаючи від досить гладкої форми в так званих м’яких сегнетоелектриках (які включають більшість сегнетоелектричних тонких плівок) до майже прямокутної форми у твердих сегнетоелектриків — див. рис.8. У низьких порах м’які сегнетоелектрики поводяться по суті як лінійні параелектрики, але з дуже високою середньою діелектричною проникністю — див. Нижню рядок таблиці 1 для такого класичного матеріалу, як \(\mathrm_\) (який є м’яким сегнетоелектриком при температурах нижче) \(T_c\approx 120^ \mathrm\) , і параелектричним вище цього критичного температура). З іншого боку, поляризація твердого сегнетоелектрика в полах нижче його коерцитивного поля залишається практично постійною, і аналіз їх електростатики може базуватися на умові \(\mathbf=\mathbf_<\mathrm>=\text < const >\) — вже використовуваному в задачі, розглянутій в кінці попереднього розділу. 23 Ця умова ще більше застосовується до так званих електретів — синтетичних полімерів зі спонтанною поляризацією, яка залишається постійною навіть у дуже високих електричних полах. Деякі матеріали демонструють ще більш складні поляризаційні ефекти, наприклад антифероелектрику, геліелектрику та (практично дуже цінну) п’єзоелектрику. На жаль, у нас немає часу для обговорення цих екзотичних явищ у цьому курсі; 24 основна причина, по якій я згадую про них, полягає в тому, щоб ще раз підкреслити, що конституційне відношення \(\mathbf=\mathbf(\mathbf)\) є матеріальним, а не фундаментальним. Однак більшість ізоляторів у практичних областях поводяться як лінійні діелектрики, так що наступний розділ буде присвячений обговоренню їх електростатики.

Довідка

11 У задачі, вирішеній в кінці попереднього розділу, роль такого відношення зіграло рівність \(\mathbf

_=\text\) . 12 У старій фізичній літературі діелектрична проникність часто позначається буквою \(\varepsilon_\) , тоді як в електротехнічних виданнях її позначення часто \(K\) . 13 Читач може здивуватися використанням трьох різних, але однозначно пов’язаних параметрів ( \(\chi_<\mathrm>\) \(\kappa \equiv 1+\chi_<\mathrm>\) , і \(\varepsilon\equiv \kappa \varepsilon_\) ) для опису лише одного скалярного властивості. На жаль, така надмірність характерна для фізики, чиї
різні підпольові спільноти мають різні, добре укорінені традиції. 14 У гаусових одиницях \(\chi_<\mathrm>\) визначається наступним співвідношенням: \(\mathbf

=\chi_<\mathrm> \mathbf\) , while \(\varepsilon\) визначається так само, як і в одиницях СІ, \(\mathbf=\varepsilon \mathbf\) . Через це в гауссових одиницях \(\varepsilon\) константа безрозмірна і дорівнює \(\left(1+4 \pi \chi_<\mathrm>\right)\) . Як результат, так \(\varepsilon_>=\left(\varepsilon / \varepsilon_\right)_<\mathrm> \equiv \kappa\) , що \(\left(\chi_<\mathrm>\right)_>=\left(\chi_<\mathrm>\right)_<\mathrm> / 4 \pi\) , іноді створюється плутанина між числовими значеннями останнього параметра — безрозмірна в обох системах. 15 Див., наприклад, SM Глава 2. 16 Реально ці ефекти регулюються квантовою механікою, так що середнє тут слід розуміти не тільки в статистично-механічному, але і (і в основному) в квантово-механічному сенсі. Через це, для неполярних атомів, \(\alpha\) як правило, дуже слабка функція температури, принаймні в звичайному масштабі \(T \sim 300 \mathrm\) . 17 Див., наприклад, SM сек. 1.4 та 3.1. 18 Такий радіус визначається вимогою про те, щоб об’єм відповідної сфери, якщо його використовувати в рівнянні Ван-дер-Ваальса (див., е. м., С.М. Розділ 4.1), найкраще підходив до експериментального рівняння стану \(n=n(P, T)\) . 19 Як буде розглянуто в QM Глава 6, для атома водню в його основному стані низькопольова поляризуваність може бути розрахована аналітично: \(\alpha=(9 / 2) \times 4 \pi \varepsilon_ r_<\mathrm>^\) , що відповідає нашій металево-кульової моделі з близьким значенням ефективного радіуса: \(R=(9 / 2)^ r_<\mathrm> \approx 1.65 r_<\mathrm> \approx 0.87 \times 10^ \mathrm\) . 20 Застосовується до високочастотного електричного поля, \(\kappa\) заміненого квадратом коефіцієнта заломлення \(n\) на частоті поля (див. Главу 7), ця формула відома як відношення Лоренца-Лоренца. 21 Я залишаю доказ Eq. (52), використовуючи формулу, яка буде виведена в наступному розділі, для вправи читача. 22 Модель Клаузіуса-Моссотті не дає кількісно правильних результатів для більшості сегнетоелектричних матеріалів. Огляд сучасних підходів до теорії їх поляризації див., наприклад, у статті Р.Рести та Д.Вандербільта в рецензійній збірці К.Рабе, К.Ан та Дж.-М. Трисконе (ред.), Фізика сегнетоелектриків: сучасна перспектива, Спрінгер, 2010. 23 Завдяки цій властивості тверді сегнетоелектрики, такі як титанат цирконату свинцю (PZT) та танталіт вісмуту стронцію (SBT), з високою залишковою поляризацією \(P_<\mathrm>\) (до \(\sim 1 \mathrm / \mathrm^\) ), можуть використовуватися в енергонезалежних спогадах з випадковим доступом (дублюються або FRAM) – див., наприклад, J. Scott, Сегнетоелектричні спогади, Спрінгер, 2000. У осередку такої пам’яті зберігається двійкова інформація у вигляді одного з двох можливих напрямків спонтанної поляризації при \(\mathbf=0\) (див. Рис.8). На жаль, час спонтанної деполяризації сегнетоелектричних тонких плівок, як правило, значно нижче 10 років – промислового стандарту збереження даних у енергонезалежних спогадах, і цей час може бути зменшений ще більше «втомою» від повторної переробки поляризації при запису інформації. Через ці причини промислове виробництво FRAM в даний час є лише крихітною часткою ринку енергонезалежної пам’яті, де переважають спогади з плаваючими воротами – див., наприклад, Розділ 4.2 нижче. 24 Для детального висвітлення сегнетоелектриків я можу рекомендувати енциклопедичну монографію M. Lines та A. Glass, Принципи та застосування сегнетоелектриків та пов’язаних з ними матеріалів, Oxford U. Press, 2001, та недавній збірник оглядів під редакцією K. Rabe et al., який цитувався вище.

physics.zfftt.kpi.ua

Полярні та неполярні молекули. Діелектриками називаються речовини, в молекулах яких усі електрони сильно зв’язані з ядрами так, що навіть у сильних електричних полях вони ледь зміщуються відносно ядер. Через це в діелектрику є неможливим електричний струм, тобто переміщення зарядів по всьому об’єму. З цієї причини суцільна діелектрична оболонка ізолює область, яку оточує, від проникнення в неї зарядів. Тому діелектрики інакше називаються “ізоляторами”. В атомах і молекулах електрони рухаються так швидко, що ядра є немов оточені суцільною хмаринкою від’ємного заряду, або вкриті “електронною оболонкою”. При цьому, залежно від конфігурації електронних оболонок, молекули і діелектричні речовини поділяють на неполярні та полярні . У молекулах неполярних діелектриків, прикладами яких є гелій \(\textrm\) та молекулярний водень \(\textrm_2\) , “центри ваги” зарядів електронів і ядер збігаються, як можна зрозуміти із схематичного на рис. 1.1а. Рис. 1.1 Тому неполярні молекули самі по собі не мають електричного моменту і не створюють власного електричного поля. В молекулах полярних діелектриків, таких як \(\textrm\) , заряди електронів і ядер рознесені у просторі (рис. 1.1б) й утворюють елементарні диполі з відповідним власним електричним моментом. Тому в околі полярної молекули існує власне мікрополе \(\vec_>\) . Нижче ви можете бачити анімацію, як демонструє поведінку різних молекул в електричному полі. Поляризація і поляризованість. Унаслідок теплового руху молекул їхні мікрополя в полярному діелектрику орієнтовані хаотично, так що середня величина \(\langle\vec_>\rangle=0\) . Тому не тільки в неполярних, а й у полярних діелектриках зазвичай ніякого макроскопічного поля немає. Але при внесенні діелектрика в зовнішнє електричне поле \(\vec_\) ситуація змінюється внаслідок поляризації . Сутність цього явища з’ясуємо на прикладі діелектрика з неполярними молекулами, які будемо розглядати як нейтральні кульки. На перший погляд такі молекули через високий ступінь просторової компенсації зарядів узагалі не мають реагувати на зовнішнє електричне поле. Але поле діє не на молекулу як ціле, а на електрони і на ядра окремо. Через це відбувається деформація електронних оболонок — електрони зміщуються відносно ядер і в кожної молекули з’являється так званий індукований (або наведений) електричний момент \(\vec

_\) , орієнтований у напрямку електричного поля (рис. 1.2а). Рис. 1.2 Рознесення негативних і позитивних зарядів частинок діелектрика у взаємно протилежних напрямках під дією електричного поля називається поляризацією. Примітка . У деяких діелектриках, які називаються п’єзоелектриками, поляризація спостерігається і при механічних деформаціях. У полярних діелектриках головну роль при поляризації відіграє не деформація електронних оболонок молекул, а переорієнтація їхніх власних електричних моментів під дією поля. Відповідно, поляризацію неполярних діелектриків називають деформаційною, а полярних — орієнтаційною. Слід відмітити, що власні моменти полярних молекул є значно більшими, ніж індуковані. Але через їхню хаотичну орієнтацію та інтенсивний тепловий рух молекул при орієнтаційній поляризації відбувається лише часткове впорядкування власних моментів, так що в обох цих типах діелектриків здатність до поляризації є приблизно однаковою. При будь-якому виді поляризації молекули під дією електричного поля утворюють систему елементарних диполів із частково впорядкованими (ефетивними) моментами \(\vec

_\) , фспрямованими по полю, як на рис. 1.2. Тому кожна область діелектрика набуває електричного моменту \(\sum\limits\vec

_\ne\) . Як наслідок порушується компенсація мікроскопічних полів молекул і в діелектрику виникає внутрішнє (власне) макроскопічне поле \(\vec\) . Це поле разом із зовнішнім полем \(\vec_\) формує результуюче макроскопічне поле в діелектрику : \begin \vec=\vec_0+\vec. \tag \end Зрозуміло, що чим сильніша поляризація, тим більша величина \( \sum\limits_i> \) . Тому її використовують для кількісної характеристики ступеня поляризації діелектрика в кожній точці. Відповідна фізична величина називається поляризованістю або вектором поляризації \( \vec \) . За означенням \begin \vec=\frac>\sum\limits\vec

_, \tag \end де \(\Delta V\) — фізично нескінченно малий об’єм діелектрика в околі даної точки, \( \vec

_ \) — електричні моменти окремих молекул у цьому об’ємі. Примітка . Як говорилося на початку, фізично нескінченно малим об’ємом називається область у речовині, яка може вважатися точковою, але вміщує макроскопічну кількість молекул. Такі вимоги не є суперечливими через гранично малі розміри молекул. Наприклад, у кубику твердої речовини з ребром \(10^\) м міститься \(10^\div10^\) молекул. Отже, можна сказати, що поляризованість \(\vec\) дорівнює електричному моменту одиниці об’єму поляризованого діелектрика. Одиницею поляризованості є \(1~\text^2\) , що збігається (і не випадково) з одиницею поверхневої густини заряду. В однорідному неполярному діелектрику індуковані дипольні моменти всіх молекул однакові, і вираз (1.2) можна записати у вигляді: \begin \vec=n\vec

, \tag \end де \(n\) ( \(1/\text^3\) ) — концентрація молекул (кількість в одиниці об’єму), \(\vec

\) — дипольний момент однієї молекули. Якщо ж вираз (1.2) помножити і поділити на кількість молекул в об’ємі \(\Delta V\) , то таким робом можна виразити і поляризованість неоднорідного діелектрика: \begin \vec=\frac>\cdot\frac<\sum\limits_>>\quad \Rightarrow \quad \vec=n\langle_>\rangle, \tag \end де \(\langle_>\rangle \) — дипольний момент, який у середньому припадає на одну молекулу в об’ємі \(\Delta V\) . Поляризаційні та сторонні заряди. В усіх діелектриках поляризація супроводжується появою макроскопічних поляризаційних зарядів . Механізм виникнення поляризаційних зарядів в однорідному неполярному діелектрику, вміщеному в однорідне електричне поле, ілюструє рис. 1.2б. Унаслідок деформації електронних оболонок молекул електрична нейтральність діелектрика в цілому не порушується, але на його поверхнях з’являються макроскопічні заряди протилежного знаку, що розподіляються з деякою густиною \(\sigma ‘\) і \(-\sigma ‘\) і тому називаються поверхневими поляризаційними зарядами. В той же час всередині різнойменні заряди сусідніх молекул розміщені щільно, і в об’ємі діелектрик лишається електрично нейтральним у кожній точці. У полярних діелектриках поверхневі поляризаційні заряди виникають унаслідок повороту дипольних моментів молекул у напрямку поля. У неоднорідних діелектриках, а також при вміщенні діелектриків у неоднорідне електричне поле, крім поверхневих, виникають і об’ємні поляризаційні заряди, розподілені з деякою об’ємною густиною \(\rho’\) . Це легко зрозуміти на прикладі поляризації умовного неоднорідного діелектрика, в якому концентрація молекул зростає в напрямку зовнішнього поля. В такому разі на поверхню зразка, що орієнтована по полю, вийде більше «плюсів» ніж вийде «мінусів» на протилежну поверхню (рис. 1.3) Рис. 1.3 Тож на поверхнях з’явиться сумарний поляризаційний заряд \((q’_+q’_) > 0\) . Тому, враховуючи загальну нейтральність зразка, в об’єм теж стане зарядженим: \begin q’_+q’_+q’_=0 \quad \Rightarrow \quad q’_V=-(q’_+q’_) < 0 . \endЦей об’ємний поляризаційний заряд, розподіляється з відповідною об’ємною густиною \(\rho' < 0\) . Зрозуміло, що при зміні напрямку поля на протилежний зміниться і знак \(\rho'\) . При поляризації електрони в молекулах діелектрика зміщуються тільки на дуже малу відстань, лишаючись зв’язаними із своїми ядрами. Тому поляризаційні заряди не можна відокремити один від одного і перемістити в інше місце. Приміром, якщо зразок поляризованого діелектрика розрізати навпіл, то обидві частини лишаться електрично нейтральними і поляризованими так само, як вихідний зразок. Тому поляризаційні заряди інакше називають зв’язаними зарядами. Принагідно зазначимо, що в теорії електричного поля в діелектриках оперують також поняттям вільних зарядів. Так називають заряди, що, в принципі, можуть довільно розташовуватися і переміщуватися. Вони не належать атомам середовища, тому ще називаються сторонніми зарядами. Такі заряди створюють зовнішнє поле \(\vec_\) , яке є першопричиною поляризації. Прикладом сторонніх зарядів можуть бути заряди заряджених кульок, вміщених у діелектричну рідину, або протилежні за знаком заряди на пластинах зарядженого конденсатора, між якими знаходиться діелектрик. Зв’язок між поляризованістю та поляризаційними зарядами. Із сказаного вище зрозуміло, що величина і розподіл поляризаційних зарядів у діелектрику залежать від ступеня та характеру поляризації. Установимо спочатку зв’язок між поляризованістю \(\vec P\) і густиною поверхневих поляризаційних зарядів \(\sigma '\) . Для цього в шарі однорідно поляризованого діелектрика ( \(\vec P = \text \) ) товщиною \(h\) виділимо ділянку у вигляді косого циліндра із твірною \(l\) та основами \(\Delta S\) , як показано на рис. 1.4. Рис. 1.4 На основах циліндра зосереджені різнойменні поляризаційні заряди однакової величини \(q = \sigma '\Delta S\) , отже, він є диполем із плечем \(l = h/\cos \alpha\) і величиною електричного моменту \begin p='\Delta Sl= <'\Delta S>\frac. \end Поділивши цю величину на об’єм циліндра \(\Delta V = \Delta S h = \Delta S l\cos \alpha \) згідно з означенням (1.2), отримаємо для поляризованості: \begin P = \frac><>\quad \Rightarrow \quad P\cos \alpha = \sigma ‘, \end або \begin = \sigma ‘, \tag \end де \( = P\cos \alpha \) — нормальна до площадки \(\Delta S\) складова поляризованості. Такий самий результат дістанемо і при неоднорідній поляризації, взявши такі малі значення \(h\) і \(\Delta S\) , аби в межах \(\Delta V\) неоднорідність була не істотною. Тому формула (1.3) є загальною й означає, що на поверхні діелектрика нормальна складова поляризованості в будь-якій точці дорівнює поверхневій густині зв’язаних зарядів у цій точці. Зокрема, в прямому циліндрі з діелектрика, що однорідно поляризований уздовж осі, поверхнева густина зв’язаних зарядів на основах \(\sigma ‘ = P\) , а повна величина заряду \( = PS\) ( \(S\) — площа основи). На бічній поверхні \( = 0\) , отже, \(\sigma ‘ = 0\) і \( = 0\) . У загальному випадку зв’язаний заряд на якійсь поверхні \(S\) (рис. 1.5а) визначається інтегруванням зарядів \(>q’ = \sigma ‘>S\) на всіх її елементарних ділянках: \begin = \int\limits_S <\,\text S = > \int\limits_S \int\limits_S <\vec P\,\text\vec S> . \end Рис. 1.5 Іншими словами, поляризаційний заряд на поверхні діелектрика дорівнює потокові вектора \(\vec P\) крізь цю поверхню. За допомогою виразу (1.3) можна знайти зв’язок і між поляризованістю та об’ємними поляризаційними зарядами. Для цього розглянемо потік вектора \(\vec P\) крізь довільну замкнену поверхню \(S\) (рис. 1.5б). Подумки поділимо її на дві частини \(\) і \(\) . Тоді потік крізь усю поверхню \begin \oint\limits_S <\vec P\,\text\vec S> = \int\limits_<> <\vec P\,\text\vec S> + \int\limits_<> <\vec P\,\text\vec S> , \end і, враховуючи (1.3), \begin \oint\limits_S <\vec P\,\text\vec S> = \int\limits_<> <_1>\,\text S> + \int\limits_<> <_2>\,\text S> = > + > = , \tag \end де \( = > + >\) — поляризаційний заряд на всій замкненій поверхні \(S\) . При однорідній поляризації \(>\) і \(>\) відрізняються тільки знаком, так що \( = 0\) . Але в неоднорідно поляризованому діелектрику \(| <>> | \ne >\) , тож при його загальній електричній нейтральності зразка заряд на всій поверхні \( \ne 0\) . Це означає, що при неоднорідній поляризації в об’ємі теж виникає поляризаційний заряд \( = – \) . Відтак вираз (1.4) можна подати у вигляді: \begin \oint\limits_S <\vec P\,\text\vec S> = – . \tag \end або \begin \oint\limits_S <\vec P\,\text\vec S> = – \int\limits_V <\rho '\,\textV> , \tag \end де \(\rho ‘\) — об’ємна густина поляризаційного заряду. Рівняння (1.5), (1.5а) встановлюють загальний зв’язок між поляризованістю та поляризаційними зарядами в діелектрику і по суті виражають теорему Гаусса для вектора \(\vec P\) : потік вектора поляризованості крізь довільну замкнену поверхню в діелектрику дорівнює величині поляризаційного заряду всередині цієї поверхні взятому з протилежним знаком.

1.2. Теорема Гаусса для діелектриків. Вектор \(\vec D\)

Як говорилося на початку, поле в діелектрику складається з поля сторонніх зарядів \(\) і внутрішнього макроскопічного поля \(\vec E’\) : \begin \vec E = + \vec E’. \end При цьому внутрішнє макроскопічне поле \(\vec E’\) є усередненим мікроскопічним полем всіх молекул поляризованого діелектрика. Але речовина діелектрика скрізь, окрім місць розташування поляризаційного заряду, лишається електрично нейтральною і як така участі у створенні поля \(\vec E’\) не бере. Тому при розгляді поля в діелектрику можна вважати, що поляризаційні заряди, як і сторонні, розташовані у вакуумі. Відтак на основі теореми Гаусса ((5.14), розділ І) для результуючого поля \(\vec E\) можна записати: \begin \oint\limits_S \vec S = > \frac>>\int\limits_V <( <\rho + \rho '>)\,\text V> , \tag \end де \(\rho\) i \(\rho ‘\) — об’ємна густина сторонніх і поляризаційних зарядів, відповідно. Рівняння (1.6) є подібним до ((5.14), розділ І) але трактувати його як вираз теореми Гаусса для поля в діелектриках не можна, бо воно містить невідомий параметр \(\rho ‘\) , який не визначає поле \(\vec E\) , а сам залежить від нього. Тому з огляду на теорію рівняння (1.6) не виражає фундаментальних (загальних) властивостей поля в діелектриках, і не може трактуватись як самодостатній фізичний закон. Воно лише відображає той тривіальний факт, що у створенні електричного поля в діелектрику окрім сторонніх зарядів беруть участь і заряди самого діелектрика. Практичної цінності рівняння (1.6) теж не має, бо шукати з нього невідоме поле \(\vec E\) можна було би тільки знаючи розподіл поляризаційних зарядів \(\rho ‘\) , який визначається тим таки невідомим полем \(\vec E\) . Але вихід з цього хибного логічного кола існує, позаяк поляризаційні заряди є пов’язані з поляризованістю. Розкривши у виразі (1.6) дужки та зробивши заміну (1.5а) матимаемо: \begin \oint\limits_\,\text\vec> = \int\limits_<\rho \,\textV> – \oint\limits_\,\text\vec>\quad \Rightarrow \quad \oint\limits_<( <<\varepsilon >_>\vec+\vec )\,\text\vec> = \int\limits_<\rho \,\textV>. \tag \end Величина в дужках, як і напруженість \(\vec E\) , є визначеною в усіх точках простору і утворює відповідне векторне поле. Тому вона позначається одним символом \(\vec D\) і називається “вектором \(\vec D\) ” або “вектором електричного зміщення”. Таким чином, за означенням вектором електричного зміщення називається вектор \begin \vec D = \vec E + \vec P. \tag \end Відтак рівняння (1.7) набуває вигляду: \begin \oint\limits_S <\vec D\,\text\vec S = > \int\limits_V <\rho \,\textV> \tag \end або \begin \oint\limits_S <\vec D\,\text\vec S = > q \tag \end і виражає теорему Гаусса для електричного поля в діелектриках: потік вектора \(\vec D\) крізь довільну замкнену поверхню дорівнює сумарній величині вільного заряду всередині цієї поверхні. Рівняння (1.9), на відміну від (1.7), не містить невідомих параметрів і є чинним як для всіх діелектриків, так і для вакууму. Справді, у вакуумі через відсутності речовини \(\rho ‘ = 0\) , тож \(\vec D = \vec E\) , і рівняння (1.9) трансформується в рівняння (5.14) теореми Гаусса для поля у вакуумі: \begin \oint\limits_S <\vec E\,\text \vec S = > \int\limits_V <\rho \,\textV> \quad \Rightarrow \quad \oint\limits_S \vec S = > \frac>>\int\limits_V <\rho \,\textV> . \end Теорема Гаусса виконується і в нестаціонарних полях при не надто швидкій їхній зміні з часом. Тому рівняння (1.9) є одним з основних інтегральних рівнянь класичної теорії електромагнітного поля, створеної Максвеллом. Разом із тим слід усвідомити, що вектор \(\vec D\) є синтетичним утворенням і не має прямого фізичного змісту, як, скажімо, вектор \(\vec E\) . Справді, згідно з означенням (1.8), вектор \(\vec D\) є комбінацією двох різних за змістом векторів: вектора \(\vec E\) , що визначається станом поля, та вектора \(\vec P\) , який відображає стан речовини. Тому вектор \(\vec D\) не є польовим вектором , тобто кількісною характеристикою електричного поля.

1.3. Діелектричні сприйнятливість і проникність

Уведення вектора \(\vec D\) є доцільним і в практичному сенсі, бо часто полегшує обчислення електричного поля в діелектриках. Це зумовлено тим, що в деяких випадках поле вектора \(\vec D\) можна розрахувати, знаючи розподіл тільки сторонніх зарядів. З іншого боку, за поляризацію відповідає повне поле в діелектрику, тож поляризованість \(\vec P\) є функцією напруженості \(\vec E: \vec P = \vec P( )\) . Тому при відомому зміщенні, вираз (1.8) із означення перетворюється на функціональне рівняння \begin \vec( > )=_>\vec( > )+\vec( \vec( > ) ) \tag \end з якого можна визначити напруженість поля, створеного в діелектрику заданим розподілом сторонніх зарядів \(\rho ( )\) . Такий розрахунок включає два етапи: — визначення допоміжного вектора \(\vec D( )\) через заданий розподіл сторонніх зарядів \(\rho ( )\) ; — визначення основного вектора поля \(\vec E( )\) за допомогою рівняння (1.10). У загальному випадку це може бути не простою задачею через складну залежність поляризованості від напруженості поля \(\vec P = \vec P( )\) . Але ізоляційні матеріали, що використовуються в електротехніці та електроніці, є ізотропними діелектриками, і залежність \(\vec P( )\) в них має простий вигляд: \begin \vec P=\varepsilon_0\varkappa\vec E, \tag \end де безрозмірне число \(\varkappa\) називається діелектричною сприйнятливістю діелектрика. Ця величина показує, наскільки сильно, чи слабко поляризується діелектрик в полі заданої напруженості, тобто дійсно характеризує його сприйнятливість до впливу електричного поля. Підставивши співвідношення (1.11) у рівняння (1.10), отримаємо: \begin \vec D=\varepsilon_0(1+\varkappa)\vec E. \tag \end У цьому виразі число в дужках має той самий, що й \(\varkappa \) , загальний зміст. Тому його позначають одним символом \(\varepsilon \) і називають діелектричною проникністю речовини. Отже, за означенням \begin \varepsilon=1+\varkappa. \tag \end Діелектрична проникність є табличною характеристикою речовини і для звичайних діелектриків складає декілька одиниць за винятком води, для якої \(\varepsilon = 81\) . Але існують також тверді діелектрики, що звуться сегнетоелектриками, і мають аномально високу (до \( \sim 104\) ) проникність. Це зумовлено особливостями їхньої внутрішньої будови. Із виразів (1.12) і (1.13) випливає важлива формула, що напряму пов’язує вектори \(\vec D\) і \(\vec E\) в ізотропному діелектрику: \begin \vec D = \varepsilon \vec E. \tag \end

1.4. Умови на межі двох діелектриків

Співвідношення (1.14) пов’язує напруженість \(\vec E\) поля в діелектрику з допоміжною величиною \(\vec D\) . Але реально напруженість поля в заданому діелектрику визначається полем сторонніх зарядів \(\) , в яке він уміщений і яке є першопричиною його поляризації. Аби встановити зв’язок між векторами \(\vec E\) і \(\) , для початку розглянемо поле у плоскопаралельній пластині однорідного ізотропного діелектрика з проникністю \(\varepsilon \) , яка вміщена в однорідне зовнішнє поле \( = \text\) , що перпендикулярне до її поверхонь, рис. 1.6а. Рис. 1.6 За таких умов внутрішнє поле \(\vec E’\) можна розглядати як поле двох заряджених з густиною заряду \(\sigma’\) і \(-\sigma’\) паралельних площин (поверхонь діелектрика). Воно напрямлене протилежно до зовнішнього поля \(\) і, згідно з принципом суперпозиції і формулою ((5.23), розділ І), має величину \begin E’ = \frac>>>. \end Тому модуль напруженості результуючого поля в діелектрику, відповідно до (1.1), дорівнює \begin E = – \frac>>>. \end Звідси, врахувавши співвідношення (1.3) і (1.11), знаходимо зв’язок між полями: \begin E=E_0-\varkappa E \quad \Rightarrow \quad (1+\varkappa) E = E_0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon E=E_0\Rightarrow\vec E=\frac . \tag \end Отже, пластина послаблює поле в \(\varepsilon \) разів без зміни його напрямку. Тому може здатися, що проникність зразка діелектрика \(\varepsilon \) — то є просто коефіцієнт послаблення ним електричного поля. Але насправді діелектрична проникність не має такого прозорого змісту, а простота виразу (1.15) зумовлена не властивостями речовини діелектрика, а формою та орієнтацією його поверхонь. Це стає зрозумілим, якщо розглянути ту саму пластину вміщену в електричне поле, що спрямоване навкіс, як на рис. 1.6б. Очевидно, що тепер вектори \(, \vec E’\) і \(\vec E\) вже не є колінеарними, тож і \(\vec E \ne ( \vec E_0/\varepsilon )\) . Тому формула (1.15) без застережень виконується лише в абстрактному ізотропному діелектрику, що не має поверхонь, тобто займає увесь безмежний простір. Що ж до обмеженого діелектрика, що має певні розміри та поверхню, співвідношення (1.15) виконується тільки у відповідних випадках, які визначаються так званими умовами на межі — співвідношеннями між векторами \(\) і \(\) та \(\) і \(\) на поверхні поділу двох діелектриків. Визначимо указані співвідношення для двох ізотропних діелектриків з проникностями \(\) і \(\) у випадку, коли на межі поділу немає сторонніх зарядів. Для цього спочатку розглянемо потік вектора \(\vec D\) крізь поверхню невеликого замкненого циліндра з паралельними до межі поділу основами \(\Delta S\) і висотою \(h\) , рис. 1.7а. Рис. 1.7 Цей потік складається з потоків через основи циліндра \(\Delta <\Phi _1>, \Delta <\Phi _2>\) і бічну поверхню \(\Delta \Phi ‘\) і, згідно з теоремою Гаусса (1.9), за відсутності сторонніх зарядів дорівнює нулю: \begin \Delta <\Phi _1>+ \Delta <\Phi _2>+ \Delta \Phi ‘ = 0. \end Позаяк циліндр малий, потоки через основи можна наближено записати як \(\Delta <\Phi _1>\approx – >\Delta S\) і \(\Delta <\Phi _2>\approx >\Delta S\) , спроектувавши вектори на спільну нормаль \(\vec n\) до межі поділу. Тоді виходить: \begin – >\Delta S + >\Delta S + \Delta \Phi ‘ \approx 0. \end Неточність цієї рівності зумовлена тим, що в кожному з діелектриків у різних точках площинки \(\Delta S\) величина \(\) не однакова. Тому для отримання точного виразу треба перейти до границі, “стягнувши” циліндр у якусь точку на межі поділу. Задля більшої прозорості зробимо це в два етапи. Спочатку будемо подумки зменшувати висоту циліндра, поступово наближаючи основи до межі поділу. Тоді у границі \(h \to 0\) зникне потік крізь бічну поверхню: \begin – >\Delta S + >\Delta S \approx 0\quad \Rightarrow \quad >\Delta S \approx >\Delta S. \end А тепер будемо зменшувати основи, зменшуючи й похибку в отриманій рівності, аж поки в границі \(\Delta S \to 0\) вона не стане математично точною: \begin > = >. \tag \end Відтак за допомогою співвідношення (1.14) встановлюємо зв’язок між нормальними складовими для векторів напруженості поля: \begin > = >\quad \Rightarrow \quad \frac<<>>><<>>> = \frac<<>><<>>. \tag \end Далі за допомогою теореми про циркуляцію ((5.2), розділ І) і формули (1.14) встановимо межові умови для тангенціальних складових векторів. Для цього розглянемо циркуляцію \(C\) вектора \(\vec E\) по малому прямокутнику, що охоплює деяку точку на межі поділу діелектриків і орієнтований так, як показано на рис. 1.7б. Ураховуючи малість контуру, інтеграл у рівнянні ((5.2), розділ І) наближено виразимо через вклади окремих сторін: \begin -_>+_>+\Delta C\approx 0. \end де \(\Delta C\) — спільний вклад від поперечних сторін, а проекції векторів поля на напрям переміщення вздовж поздовжніх сторін записані через спільний орт \(\vec \tau \) дотичної до межі поділу. Далі, стягаючи спочатку поперечні, а потім поздовжні сторони прямокутника в вибрану точку на межі поділу діелектриків, отримаємо в границі точні співвідношення для напруженості \begin = \tag \end і, за допомогою формули (1.14), — для електричного зміщення. \begin \frac<<>><<>> = \frac<<>><<>>. \tag \end Зведемо всі отримані результати, які й складають умови на межі двох діелектриків: \begin \begin _>=_>,& \qquad \frac<_>><_>>=\frac_>>_>>;\\\frac<_>><_>>=\frac_>>_>>,& \qquad _>=_>. \end \tag \end З умов (1.18) випливає, що при переході через межу поділу діелектриків змінюються не тільки модулі, а й напрямки векторів \(\vec D\) і \(\vec E\) . При цьому напрямки векторів змінюються однаково, а модулі — ні. Це наочно ілюструє рис. 1.8: коли \( < \) (рис. 1.8а)), то \( < \) , а \( > \) , тоді як при \( > \) (рис. 1.8б)) навпаки \( > \) , а \( < \) . Рис. 1.8 Для межі поділу вакууму ( \( <= 1> \) ) і діелектрика ( \( <= \varepsilon > \) ) умови (1.18) мають вигляд: \begin \begin _>=_>,& \qquad \frac<_>><_>>=\varepsilon ;\\ \frac<_>><_>>=\frac,& \qquad _>=_>. \end \tag \end Звідси випливає, що \(E = \sqrt <( E_/\varepsilon )^2 + E^2_> \) . Отже, на загал \(E \ne ( E_0/E_0\varepsilon )\) , як і говорилося на початку. Виняток становить тільки випадок, коли поле напрямлене по нормалі до поверхні діелектрика. Тоді \( = = 0\) , і поверхня діелектрика співпадає з однією з еквіпотенціальних поверхонь поля (див. розділ І, п. 2). У такому разі нормальні проекції векторів напруженості збігаються з модулями, і поле в діелектрику \begin E = \frac<<>> \tag \end так, немов він є безмежним. Відповідно, для двох діелектриків, межа поділу яких є еквіпотенціальною, \begin \frac<<>><<>> = \frac<<>><<>>. \tag \end У загальному випадку при переході з одного діелектрика в інший змінюється і напрямок поля. Через це на межі поділу спостерігається ефект заломлення ліній векторів \(\vec D\) і \(\vec E\) , рис. 1.9 Рис. 1.9 При цьому з умов (1.18) випливає наступний “закон заломлення”: \begin \frac <<\operatorname>> <<\operatorname>> = \frac<<>><<>>. \tag \end Прийнявши \( = 1\) і \( = \varepsilon \) та відповідно позначивши кути як \(\) і \(\alpha \) , отримаємо зв’язок між напрямками векторів на межі вакууму і діелектрика з проникністю \(\varepsilon \) : \begin \frac <<\operatorname>> <<\operatorname\alpha >> = \frac. \tag \end Зрозуміло, що лінії векторів \(\vec D\) і \(\vec E\) заломлюються однаково, але в їхній поведінці є й істотна відмінність. Якщо розглянути потоки цих векторів крізь замкнену поверхнею у формі диска з основами \(\Delta S\) , що прилягають до поверхні поділу діелектриків, як на рис. 1.7, то згідно з (1.18) отримаємо: \(>\Delta S = >\Delta S\) . З урахуванням геометричного змісту потоку це означає, що при переході через межу поділу кількість ліній вектора \(\vec D\) не змінюється, тобто вони є неперервними. Натомість для напруженості \(>\Delta S \ne >\Delta S\) , і лінії вектора \(\vec E\) терплять розрив, як показано на рис. 1.9. Це не важко пояснити. Через різну проникність діелектриків їхня поляризованість не однакова, і поляризаційні заряди протилежного знаку, що виникають на прилеглих поверхнях мають різну величину. Через це на поверхні дотику існують некомпенсовані зв’язані заряди того, чи іншого знаку. Якщо \( > \) , то ці заряди від’ємні, і на них певна кількість ліній \(\vec E\) закінчується, як на рис. 1.9а. При \( > \) указані заряди мають знак « \(+\) », і на межі поділу виникають додаткові лінії напруженості, рис. 1.9б. Наостанку вкажемо наступний корисний для практики висновок, що випливає з проведеного розгляду. Позаяк у безмежному діелектричному середовищі та в діелектрику, обмеженому еквіпотенціальними поверхнями, електричне поле порівняно з вакуумом просто ослаблюється в \(\varepsilon \) разів без зміни напрямку, то будь-яку необхідну формулу можна отримати з відповідної формули для вакууму заміною \(\) на \(\varepsilon \) . До прикладу, при наявності діелектрика замість формул (1.4) чи (5.26) з розділу І маємо: \begin E = \frac<<4\pi \varepsilon >>, \tag \end та \begin E = \frac\varepsilon >>. \tag \end

Контрольні запитання

1. Які речовини називаються діелектриками та як вони впливають на електричне поле? 2. Що таке внутрішнє (власне) макроскопічне поле в діелектрику? Як воно виникає та від чого залежить? 3. Що таке поляризація та поляризованість діелектрика? 4. Як утворюються поляризаційні заряди. Яка відміна існує між ними та сторонніми зарядами? 5. Який зв’язок існує між поляризаційними зарядами та поляризованістю діелектрика? 6. Як формулюється теорема Гаусса для електричного поля в діелектрику? Чи можна вважати, що вектор \(\vec D\) визначається тільки розподілом сторонніх зарядів? 7. Чи можна вважати \(\vec D\) вектором електричного поля в діелектрику? 8. Який зв’язок існує між поляризованістю та напруженістю поля в ізотропних діелектриках? 9. Установіть зв’язок між вектором \(\vec D\) та напруженістю поля \(\vec E\) в ізотропному діелектрику. 10. Чи можна трактувати діелектричну проникність \(\varepsilon \) як коефіцієнт послаблення напруженості поля в ізотропному діелектрику? 11. Запишіть умови на межі двох ізотропних діелектриків за відсутності на межі сторонніх зарядів. У якому випадку поле в діелектрику просто послаблюється в \(\varepsilon \) разів порівняно з вакуумом? 12. У якому випадку при переході з одного діелектрика в інший лінії векторів \(\vec D\) і \(\vec E\) відхиляються до межі поділу діелектриків, а в якому від неї? Покажіть картину ліній цих векторів у випадку однорідного поля. 13. Поясніть, як змінюється щільність ліній векторів \(\vec E\) і \(\vec D\) при переході з одного діелектрика в інший, якщо вектори напрямлені а) по нормалі і б) під кутом до межі поділу діелектриків.